1. Какое количество мелодий можно создать из четырех разных нот? 2. Каково количество мелодий, которые можно сыграть

Ярило

52

1. Для решения первой задачи нам необходимо определить количество возможных комбинаций четырех разных нот. Количество комбинаций можно вычислить по формуле для сочетаний без повторений. Формула для сочетаний без повторений имеет вид:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]
где \(n\) - общее количество элементов (в данном случае - нот), а \(k\) - количество элементов в одной комбинации (в данном случае - количество выбранных нот).

В нашем случае, у нас имеется 4 разных ноты, поэтому \(n = 4\). Мы хотим создать комбинации из всех доступных нот, поэтому \(k = 4\).

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[C_4^4 = \frac{{4!}}{{4! \cdot (4-4)!}} = \frac{{4!}}{{4! \cdot 0!}} = \frac{{4!}}{{4! \cdot 1}} = \frac{{4!}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{24}}{{24}} = 1\]

Таким образом, можно создать только одну мелодию из четырех разных нот.

2. Во второй задаче нам дано, что нам нужно выбрать четыре ноты из семи заданных нот без повторений и определить количество мелодий, которые можно сыграть. Для этого мы можем использовать формулу для сочетаний без повторений, но на этот раз \(n = 7\) и \(k = 4\).

\[C_7^4 = \frac{{7!}}{{4! \cdot (7-4)!}} = \frac{{7!}}{{4! \cdot 3!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{4! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 35\]

Таким образом, можно сыграть 35 различных мелодий из четырех нот, выбранных без повторений из семи заданных нот.

3. В третьей задаче нам нужно выбрать четыре ноты из семи доступных нот и определить количество возможных аккордов. В отличие от предыдущей задачи, здесь ноты могут повторяться. То есть, мы можем выбирать одну и ту же ноту несколько раз в одном аккорде.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для сочетаний с повторениями. Формула для сочетаний с повторениями имеет вид:
\[C"_n^k = C_{n+k-1}^k\]
где \(n\) - общее количество элементов (нот), а \(k\) - количество элементов в одной комбинации (нотах в аккорде).

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[C"_{7}^4 = C_{7+4-1}^4 = C_{10}^4 = \frac{{10!}}{{4! \cdot (10-4)!}} = \frac{{10!}}{{4! \cdot 6!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{4! \cdot 6!}} = 210\]

Таким образом, можно сыграть 210 различных аккордов из четырех нот, выбранных из семи разных нот.

4. В четвертой задаче нам нужно составить два патруля, каждый из которых будет состоять из двух офицеров и трех солдат. Мы должны определить произведение количества выбранных офицеров и количества выбранных солдат для образования таких двух патрулей.

Из условия следует, что у нас есть общий пул из офицеров и солдат, и мы должны выбрать из него офицеров и солдат для каждого патруля.

Обозначим количество офицеров как \(n_1\) и количество солдат как \(n_2\).

Тогда, чтобы найти произведение количества выбранных офицеров и количества выбранных солдат, нам нужно вычислить \(n_1 \cdot n_2\).

Исходя из условия, у нас есть две группы: офицеры и солдаты. Количество офицеров равно количеству солдат, поэтому \(n_1 = n_2\).

Таким образом, произведение количества выбранных офицеров и количества выбранных солдат будет:
\(n_1 \cdot n_2 = n_1 \cdot n_1 = n_1^2\).

Для данной задачи нам нужно выбрать двух офицеров и трех солдат.
Таким образом, произведение количества выбранных офицеров и количества выбранных солдат будет:
\(2^2 = 4\).

Таким образом, для формирования двух патрулей, каждый из которых будет состоять из двух офицеров и трех солдат, нам потребуется выбрать 4 человека.