1. Какое количество вариантов размещения десятитомника произведений автора на книжной полке возможно при следующих
1. Какое количество вариантов размещения десятитомника произведений автора на книжной полке возможно при следующих условиях: 1) I, V и IX тома должны стоять рядом, но в любом порядке; 2) I, II и III тома не должны стоять рядом, но могут быть расположены в любом порядке?
2. Сколько различных комбинаций можно сформировать, выбирая гвоздики из вазы, которая содержит 9 красных и 7 розовых гвоздик: 1) 3 гвоздики; 2) 4 красных и 3 розовых гвоздики?
2. Сколько различных комбинаций можно сформировать, выбирая гвоздики из вазы, которая содержит 9 красных и 7 розовых гвоздик: 1) 3 гвоздики; 2) 4 красных и 3 розовых гвоздики?
Zvezdopad 20
1. Для решения первой задачи, мы можем использовать принцип умножения, так как условия задачи применимы последовательно.1) I, V и IX тома должны стоять рядом, но в любом порядке. Отметим эти 3 тома как одну единицу, так как они должны быть рядом независимо от порядка.
Теперь у нас есть следующие тома: \(I, V, IX, II, III, IV, VI, VII, VIII, X\). Всего у нас 10 томов, но мы рассматриваем их как 8 единиц, где \(I, V, IX\) объединены в одну единицу.
2) I, II и III тома не должны стоять рядом, но могут быть расположены в любом порядке. У нас есть 8 единиц, и мы должны учесть, что \(I, II, III\) не должны быть рядом. Для этого мы можем рассмотреть ситуацию, когда \(I, II, III\) расположены рядом и вычесть это из общего числа вариантов.
Так как \(I, II, III\) должны быть рядом, мы можем рассматривать их как одну единицу. Теперь у нас осталось 6 единиц. Мы можем расположить их в любом порядке.
Таким образом, общее количество вариантов будет равно количеству вариантов, когда \(I, V, IX\) рядом (1 вариант), умноженному на количество вариантов, когда \(I, II, III\) рядом, и вычтенному из общего количества вариантов расстановки 8 единиц:
\[1 \cdot (8-1)! - 3! = 1 \cdot 7! - 3! = 5,040 - 6 = 5,034\]
Таким образом, количество вариантов размещения десятитомника на книжной полке составляет 5,034 варианта.
2. Для решения второй задачи мы можем использовать комбинаторику.
1) Для выбора 3 гвоздик, мы можем использовать сочетания. У нас есть 9 красных и 7 розовых гвоздик, поэтому у нас есть два случая, когда все гвоздики одного цвета и один случай, когда у нас есть два красных и один розовый гвоздик. Мы можем использовать формулу сочетаний для каждого случая:
\[\binom{9}{3} + \binom{7}{3} = \frac{9!}{3!6!} + \frac{7!}{3!4!} = 84 + 35 = 119\]
Таким образом, количество различных комбинаций при выборе 3 гвоздик составляет 119 комбинаций.
2) Для выбора 4 красных и 3 розовых гвоздик мы также можем использовать сочетания:
\[\binom{9}{4} \cdot \binom{7}{3} = \frac{9!}{4!5!} \cdot \frac{7!}{3!4!} = 126 \cdot 35 = 4,410\]
Таким образом, количество различных комбинаций при выборе 4 красных и 3 розовых гвоздик составляет 4,410 комбинаций.