1. На основании рисунка 2, определите: а) Каковы координаты вектора AO? б) Какова длина вектора OA? 3. На основании

Шнур

24

Задача 1:
а) Координаты вектора OA можно определить вычитанием координат точки O из координат точки A. Обозначая координаты точки O как (x₀, y₀) и координаты точки A как (x₁, y₁), мы получим

\[OA = \begin{pmatrix}x₁ - x₀ \\ y₁ - y₀\end{pmatrix}\]

б) Длина вектора OA может быть найдена с использованием теоремы Пифагора в двумерном пространстве. Используя координаты вектора OA, мы можем вычислить его длину следующим образом:

\[|OA| = \sqrt{(x₁ - x₀)^2 + (y₁ - y₀)^2}\]

Задача 2:
а) Координаты точки M можно определить, используя среднее значение координат точек A и B. Обозначая координаты точки A как (x₁, y₁) и координаты точки B как (x₂, y₂), мы можем найти координаты точки M следующим образом:

\[M = \left(\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right)\]

б) Длина отрезка AV можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками. Для этого мы используем координаты точек A и V (обозначим их как (x₁, y₁) и (x₂, y₂) соответственно):

\[|AV| = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}\]

Задача 3:
а) Координаты и длину векторов AB и VA можно определить, используя формулу разности координат для вычисления координат вектора и формулу длины вектора для определения его длины. Заметим, что вектор AB можно записать как вектор BA с противоположным направлением:

\[AB = \begin{pmatrix}x₂ - x₁ \\ y₂ - y₁\end{pmatrix}\]
\[|AB| = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}\]

Аналогично, вектор VA можно записать как вектор AV с противоположным направлением:

\[VA = \begin{pmatrix}x₁ - x₂ \\ y₁ - y₂\end{pmatrix}\]
\[|VA| = \sqrt{(x₁ - x₂)^2 + (y₁ - y₂)^2}\]

б) Найдем вектор A = 2T - 3N + R по формуле сложения векторов, где T, N и R равны соответственно векторам M, P и P:

\[A = 2M - 3P + R = 2\begin{pmatrix}-3 \\ 0\end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}\]

Выполняя вычисления, получим:

\[A = \begin{pmatrix}-6 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 0\end{pmatrix}\]

Длину вектора A можно найти с использованием формулы длины вектора:

\[|A| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4\]

Задача 5:
Уравнение окружности с центром в точке A и радиусом 9 может быть записано в виде:

\[(x - x₀)^2 + (y - y₀)^2 = r^2\]

где (x₀, y₀) - координаты центра окружности (точка A) и r - радиус окружности (9). Также дано, что точка A лежит на прямой у = -2х и ордината равна 4. Подставляя координаты центра окружности (x₀, y₀) и радиус r в уравнение окружности, получим:

\[(x - x₀)^2 + (y - y₀)^2 = 9^2\]
\[(x - x₀)^2 + (y - 4)^2 = 81\]

Учитывая, что у = -2х, можем заменить y в уравнении окружности:

\[(x - x₀)^2 + (-2x - 4)^2 = 81\]

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке A и радиусом 9, при условии y = -2х и y₀ = 4, будет:

\[(x - x₀)^2 + (-2x - 4)^2 - 81 = 0\]

Задача 6:
Для определения, лежат ли точки A(-5, -1), B(-4, -4), C(1, -5), D(-6, 0), E(0, -6) на окружности, необходимо проверить, удовлетворяют ли они уравнению окружности, заданному в задаче 5. Подставляя координаты каждой точки в уравнение окружности, получаем:

Для точки A (-5, -1):
\[(-5 - x₀)^2 + (-1 - y₀)^2 - 81 = 0\]

Для точки B (-4, -4):
\[(-4 - x₀)^2 + (-4 - y₀)^2 - 81 = 0\]

Для точки C (1, -5):
\[(1 - x₀)^2 + (-5 - y₀)^2 - 81 = 0\]

Для точки D (-6, 0):
\[(-6 - x₀)^2 + (0 - y₀)^2 - 81 = 0\]

Для точки E (0, -6):
\[(0 - x₀)^2 + (-6 - y₀)^2 - 81 = 0\]

Если в каждом из этих уравнений значение равно нулю, то соответствующая точка лежит на окружности. Если значение не равно нулю, то точка не лежит на окружности.