1) Какое расстояние нужно найти от точки М (2020, 2021, 2030) до плоскости, образованной треугольником А(2:1;0

Снежок

53

Для решения первой задачи, нам понадобится использовать формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \frac{{\left| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \right|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

где \(d\) - искомое расстояние, \(x_0\), \(y_0\), \(z_0\) - координаты точки, \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) - коэффициенты плоскости.

Известные координаты точки М: \(x_0 = 2020\), \(y_0 = 2021\), \(z_0 = 2030\).

Уравнение плоскости можно найти, используя точки А, В и С. Для этого мы можем использовать векторное произведение этих трёх точек. Векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) даст нормальный вектор плоскости.

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 - 2 \\ 3 - 1 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 - 2 \\ 4 - 1 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Теперь найдём векторное произведение:

\[\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\]

\[\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}\]

Мы получили нормальный вектор плоскости \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}\).

Теперь найдём коэффициенты плоскости \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) с использованием известного нам вектора нормали \(\overrightarrow{n}\) и одной из точек плоскости, например, точки А:

\[A = n_x = 0\]
\[B = n_y = 0\]
\[C = n_z = -7\]
\[D = -Ax - By - Cz = 0 \cdot 2 - 0 \cdot 5 - (-7) \cdot 0 = 0\]

Теперь, когда у нас есть коэффициенты плоскости, мы можем подставить их в формулу расстояния:

\[d = \frac{{\left| 0 \cdot 2020 + 0 \cdot 2021 + (-7) \cdot 2030 + 0 \right|}}{{\sqrt{{0^2 + 0^2 + (-7)^2}}}}\]

\[d = \frac{{\left| -14110 \right|}}{{\sqrt{{49}}}} = \frac{{14110}}{{7}} = 2015\]

Итак, расстояние от точки М до плоскости, образованной треугольником А, В, С, равно 2015.

Перейдём к решению второй задачи.

В данной задаче, нам также потребуется использовать формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. В нашем случае, формула выглядит так же, как и в первой задаче:

\[d = \frac{{\left| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \right|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

Определим координаты точки D: \(x_0 = 3\), \(y_0 = 0\), \(z_0 = 1\).

Теперь нам нужно получить коэффициенты плоскости \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) с использованием известного нам тетраэдра АВС и его точек.

Для начала, найдём векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), чтобы найти нормальный вектор плоскости:

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 - 3 \\ 4 - 0 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - 0 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Выполняем векторное произведение:

\[\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\]

\[\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix}\]

Мы получили нормальный вектор плоскости \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix}\).

Теперь найдём коэффициенты плоскости \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) с использованием известного нам вектора нормали \(\overrightarrow{n}\) и одной из точек плоскости, например, точки А:

\[A = n_x = 0\]
\[B = n_y = 0\]
\[C = n_z = 16\]
\[D = -Ax - By - Cz = 0 \cdot 3 - 0 \cdot 0 - 16 \cdot 1 = -16\]

Теперь, когда у нас есть коэффициенты плоскости, мы можем подставить их в формулу для расстояния:

\[d = \frac{{\left| 0 \cdot 3 + 0 \cdot 0 + 16 \cdot 1 - 16 \right|}}{{\sqrt{{0^2 + 0^2 + 16^2}}}}\]

\[d = \frac{{\left| 16 - 16 \right|}}{{\sqrt{{256}}}} = \frac{{0}}{{16}} = 0\]

Таким образом, расстояние от вершины Д до плоскости, образованной тетраэдром АВС, равно 0.

Надеюсь, данное пошаговое решение поможет вам лучше понять задачи и их решение. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!