1. Какое уравнение описывает сферу с центром в точке М(1;3;5) и радиусом 4 см? Выберите один из следующих вариантов

Liya

1

1. Для определения уравнения сферы с центром в точке М(1;3;5) и радиусом 4 см, мы можем использовать следующую формулу:

\((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\)

где a, b и c - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

Исходя из этой формулы, если центр сферы М(1;3;5) и радиус 4, то уравнение будет следующим:

\((x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = 4^2\)

Раскрываем скобки:

\((x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 - 10z + 25) = 16\)

Сгруппируем все члены и упростим уравнение:

\(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y - 10z + 10 = 16\)

\(x^2 - 2x + y^2 - 6y + z^2 - 10z + 10 - 16 = 0\)

\(x^2 - 2x + y^2 - 6y + z^2 - 10z - 6 = 0\)

Таким образом, правильным ответом на первый вопрос является вариант ответа 3) \((х - 1)^2 + (у - 3)^2 + (z - 5)^2 = 16\).

2. Для нахождения координат центра (S) и радиуса сферы, заданной уравнением \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 4\), необходимо привести уравнение к стандартной форме сферы.

Приравнивая полученное уравнение к нулю, мы имеем:

\((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 - 4 = 0\)

Раскрываем скобки:

\(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 4 = 0\)

Сгруппируем все члены и упростим уравнение:

\(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y + 1 - 4 = 0\)

\(x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 3 = 0\)

Сравнивая полученное уравнение с формулой сферы \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\), можно определить значения центра и радиуса:

a = 2, b = -1, c = 0, r^2 = 3.

Следовательно, координаты центра сферы S(2;-1;0), а радиус - r = \(\sqrt{3}\).

Правильными ответами на второй вопрос будут варианты ответа 1) S(2;1;0) и 2) r = \(\sqrt{3}\).