1) Какое ускорение свободного падения существует на Меркурии, планете, ближайшей к Солнцу? Масса Меркурия составляет

Пчелка

25

1) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для ускорения свободного падения \(a\) на поверхности планеты:

\[a = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}\)), \(M\) - масса планеты и \(r\) - радиус планеты.

Подставляя значения для Меркурия, получаем:

\[a = \frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot (3.3 \times 10^{23} \, \text{кг})}}{{(2440 \, \text{км})^2}}\]

Прежде чем продолжить, давайте переведем радиус Меркурия в метры:

\[r = 2440 \, \text{км} \times 1000 = 2.44 \times 10^6 \, \text{м}\]

Теперь можем продолжить расчет:

\[a = \frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot (3.3 \times 10^{23} \, \text{кг})}}{{(2.44 \times 10^6 \, \text{м})^2}}\]

После выполнения всех вычислений мы получим значение ускорения свободного падения на Меркурии.

2) В этой задаче мы можем использовать ту же формулу, но на этот раз нам дано значение ускорения свободного падения \(a\) и требуется найти высоту \(h\) над поверхностью Земли:

\[a = \frac{{G \cdot M}}{{(r + h)^2}}\]

Мы знаем значение радиуса Земли \(r\) и ускорение свободного падения \(a\), поэтому можем переписать уравнение следующим образом:

\[h = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{a}}} - r\]

Подставляя значения для Земли, получаем:

\[h = \sqrt{\frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot (6 \times 10^{24} \, \text{кг})}}{{5 \, \text{м/с}^2}}} - 6400 \, \text{км}\]

Переведем радиус Земли в метры:

\[r = 6400 \, \text{км} \times 1000 = 6.4 \times 10^6 \, \text{м}\]

Теперь мы можем продолжить расчет:

\[h = \sqrt{\frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot (6 \times 10^{24} \, \text{кг})}}{{5 \, \text{м/с}^2}}} - 6.4 \times 10^6 \, \text{м}\]

После выполнения всех вычислений мы получим значение высоты над поверхностью Земли, на которой ускорение свободного падения равно 5 м/с^2.

3) Чтобы найти массу планеты Урана, мы можем использовать эту же формулу, но на этот раз нам дано значение ускорения свободного падения \(a\) на Уране и значение радиуса \(r\) планеты:

\[a = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

Мы знаем значение ускорения свободного падения \(a\) на Земле, поэтому можем переписать уравнение следующим образом:

\[M = \frac{{a \cdot r^2}}{{G}}\]

Подставляя значения для Урана, получаем:

\[M = \frac{{(9.8 \, \text{м/с}^2) \cdot (25000 \, \text{км})^2}}{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}}}\]

Переведем радиус Урана в метры:

\[r = 25000 \, \text{км} \times 1000 = 2.5 \times 10^7 \, \text{м}\]

Теперь можем продолжить расчет:

\[M = \frac{{(9.8 \, \text{м/с}^2) \cdot (2.5 \times 10^7 \, \text{м})^2}}{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}}}\]

После выполнения всех вычислений мы получим значение массы планеты Урана.