1. Каков диаметр окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника со стороной 4 см? Укажите только число

Тропик

19

1. Чтобы найти диаметр окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника со стороной 4 см, нам понадобится знание о связи радиуса описанной окружности и стороны правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник может быть разбит на 6 равносторонних треугольников. Рассмотрим один из этих треугольников:

Для этого треугольника можно использовать теорему Пифагора. Пусть \(s\) - длина стороны шестиугольника, \(r\) - радиус описанной окружности, \(d\) - диагональ шестиугольника (диаметр описанной окружности). Тогда мы можем записать:

\[s^2 = r^2 + (d/2)^2\]

У нас уже есть значение стороны шестиугольника (\(s = 4\) см), поэтому мы можем переписать формулу в виде:

\[16 = r^2 + (d/2)^2\]

У нас есть еще одно замечание, что тангенс угла примыкающего к диагонали должен быть равен \(\sqrt{3}\), так как это свойство правильного треугольника. Тогда можно записать:

\[\tan(60°) = \frac{(d/2)}{r}\]
\[\sqrt{3} = \frac{(d/2)}{r}\]
\[d = 2r\sqrt{3}\]

Теперь мы можем заменить \(d\) в исходном уравнении:

\[16 = r^2 + (2r\sqrt{3}/2)^2\]
\[16 = r^2 + 3r^2\]
\[16 = 4r^2\]
\[r^2 = 4\]
\[r = 2\]

Таким образом, диаметр окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника со стороной 4 см, равен 4 см.

2. Для вычисления значения \(x\), нам потребуется знание формулы для площади сегмента окружности:

\[S = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2\sin\theta\]

Где \(S\) представляет собой площадь сегмента окружности, \(r\) - радиус окружности, \(\theta\) - центральный угол в радианах.

В данной задаче у нас уже есть радиус (\(r = 6\)) и центральный угол (\(\theta = 120°\)). Мы также видим изображение к задаче, хотя оно носит описательный характер.

Переведем центральный угол из градусов в радианы:

\(\theta = \frac{120 \cdot \pi}{180} = \frac{2\pi}{3}\)

Теперь мы можем заменить значения \(r\) и \(\theta\) в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\]

Упростим это выражение:

\[S = 18\pi - 18\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\]

Теперь мы видим, что площадь сегмента окружности равна \(-x\sqrt{} \), следовательно:

\[18\pi - 18\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -x\sqrt{} \]

Подставим значение для синуса \(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\) , которое равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), и решим уравнение:

\[18\pi - 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -x\sqrt{} \]
\[18\pi - 9\sqrt{3} = -x\sqrt{} \]
\[x = 9\sqrt{3} - 18\pi \]

Таким образом, значение \(x\) равно \(9\sqrt{3} - 18\pi\).