1. Каков потенциал в центре равномерно заряженного куба, если его потенциал равен 20 В? 2. Какова диэлектрическая

Solnechnyy_Feniks

23

1. Потенциал в центре равномерно заряженного куба можно найти, используя формулу для потенциала от точечного заряда и принцип суперпозиции. Для этого нам понадобится найти потенциал от каждой грани куба, а затем сложить их. Общая формула для потенциала от точечного заряда \(V\) на расстоянии \(r\) от него выглядит следующим образом:

\[V = \frac{{k \cdot q}}{{r}},\]

где \(k\) - постоянная Кулона (\(9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q\) - заряд, а \(r\) - расстояние до заряда.

У нас есть равномерно заряженный куб, что означает, что каждая грань имеет одинаковую площадь и одинаковый заряд \(Q\), а потенциал в центре равен 20 В. Так как центр куба находится на равных расстояниях от всех граней, то вклад каждой грани в потенциал в центре будет одинаковым.

У нас шесть граней куба, так что потенциал в центре будет суммой потенциалов от каждой грани:

\[V_{\text{центра}} = 6 \cdot \frac{{k \cdot q_{\text{грани}}}}{{r_{\text{граней}}}}.\]

В данной задаче известен потенциал в центре, который равен 20 В. Таким образом, мы можем выразить заряд грани куба:

\[20 \, \text{В} = 6 \cdot \frac{{k \cdot q_{\text{грани}}}}{{r_{\text{граней}}}}.\]

Теперь мы можем рассчитать потенциал в центре куба, если известны заряд грани и расстояние до грани.

2. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика может быть найдена, используя формулу для емкости плоского конденсатора. Емкость \(C\) плоского конденсатора определяется диэлектрической проницаемостью диэлектрика \(\varepsilon_0\) (проницаемости вакуума) и его площадью \(A\) между пластинами, а также расстоянием \(d\) между пластинами. Формула для емкости конденсатора выглядит следующим образом:

\[C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot A}}{{d}},\]

где \(\varepsilon\) - диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

У нас есть информация о разности потенциалов \(V_1 = 3 \, \text{кВ}\) и \(V_2 = 5 \, \text{кВ}\) между пластинами плоского конденсатора. Как мы знаем, разность потенциалов между пластинами конденсатора может быть найдена с использованием формулы:

\[V = \frac{Q}{C},\]

где \(Q\) - заряд на пластинах конденсатора.

В нашем случае, разность потенциалов увеличивается, поэтому:

\[V_2 - V_1 = \frac{Q}{C_2} - \frac{Q}{C_1} = Q \left(\frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1}\right).\]

Теперь мы можем найти изменение разности потенциалов:

\[\Delta V = V_2 - V_1 = 2 \, \text{кВ} = Q \left(\frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1}\right).\]

Мы также знаем, что соотношение между изменением разности потенциалов и диэлектрической проницаемостью диэлектрика:

\[\Delta V = \frac{Q}{C_1} - \frac{Q}{C} = Q \left(\frac{1}{C_1} - \frac{1}{C}\right).\]

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

2 кВ = Q \(\left(\frac{1}{C} - \frac{1}{C_1}\right)\).

Мы можем решить это уравнение, найдя диэлектрическую проницаемость диэлектрика \(\varepsilon\).

3. Изменение энергии конденсатора при раздвижении его пластин можно рассмотреть с помощью формулы для энергии конденсатора. Энергия \(U\) конденсатора определяется его емкостью \(C\) и разностью потенциалов \(V\) между пластинами. Формула для энергии конденсатора выглядит следующим образом:

\[U = \frac{1}{2} C V^2.\]

Если конденсатор подключен к аккумулятору, разность потенциалов между его пластинами будет увеличена. Пусть \(V_1\) - начальная разность потенциалов, а \(V_2\) - конечная разность потенциалов. Изменение энергии конденсатора \(\Delta U\) можно найти как разность между конечной и начальной энергией:

\[\Delta U = \frac{1}{2} C V_2^2 - \frac{1}{2} C V_1^2.\]

Мы можем заметить, что разность потенциалов \(V = V_2 - V_1\) связана с разностью энергии \(\Delta U\):

\[\Delta U = \frac{1}{2} C (V + V_1)^2 - \frac{1}{2} C V_1^2.\]

Подставим значение разности потенциалов из предыдущей задачи \(\Delta V = V_2 - V_1\) и приравняем:

\[\Delta U = \frac{1}{2} C (\Delta V + V_1)^2 - \frac{1}{2} C V_1^2.\]

Теперь мы можем увидеть, как изменение энергии конденсатора связано с его разностью потенциалов и начальной энергией. Закон сохранения энергии требует, чтобы изменение энергии конденсатора было равно работе, совершенной аккумулятором. Если аккумулятор совершает положительную работу, энергия конденсатора должна увеличиться (и наоборот).