1. Каков угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y=x^3 в точке C(-2;-8)? 2. Найдите углы наклона

Pupsik

6

1. Для нахождения углового коэффициента касательной к кривой \(y=x^3\) в точке C(-2;-8), мы можем использовать производную. Производная функции \(y=x^3\) равна \(y"=3x^2\). Чтобы найти угловой коэффициент касательной, подставим абсциссу точки C(-2) в производную: \(k=y"(-2)=3(-2)^2=12\). Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 12.

2. Для определения угла наклона касательной к кривой \(y=x^2+5x+3\) в точке с заданной абсциссой, мы также воспользуемся производной. Производная функции \(y=x^2+5x+3\) равна \(y"=2x+5\). Для нахождения угла наклона в точке с абсциссой x=-2, подставим эту абсциссу в производную: \(k=y"(-2)=2(-2)+5=1\). Аналогично, чтобы найти угол наклона в точке x=0, подставим x=0 в производную: \(k=y"(0)=2(0)+5=5\).

3. Чтобы найти точку на кривой \(y=4x^2-6x+3\), в которой касательная параллельна прямой \(y=2x\), мы должны найти абсциссы точек, где угловой коэффициент касательной равен 2, так как угловой коэффициент прямой равен 2. Для этого решим уравнение \(4x^2-6x+3=2\). После решения это квадратного уравнения мы найдем две точки: A(1;1) и B(0.5;1.5). Таким образом, касательная к кривой в точке A(1;1) или B(0.5;1.5) будет параллельна прямой \(y=2x\).

4. Для нахождения точки, в которой касательная к кривой \(y=x^2-1\) параллельна оси 0x и образует угол 45 градусов с осью у, мы можем использовать информацию о свойствах перпендикулярных линий в плоскости. Поскольку касательная параллельна оси 0x, ее угловой коэффициент равен 0. Другими словами, это горизонтальная прямая. Чтобы касательная образовывала угол 45 градусов с осью у, она должна проходить через точку, находящуюся на расстоянии \(1/\sqrt{2}\) от оси у. Таким образом, точка, в которой касательная параллельна оси 0x и образует угол 45 градусов с осью у, - (1/\(\sqrt{2}\); -1).

5. Чтобы определить абсциссу точки на параболе \(y=-x^2+x+\frac{3}{4}\), в которой касательная параллельна оси абсцисс, мы должны найти x, для которого угловой коэффициент касательной равен 0. Поскольку угловой коэффициент параллельной оси абсцисс прямой равен 0, мы решаем уравнение \(y"=0\). Производная функции \(y=-x^2+x+\frac{3}{4}\) равна \(y"=-2x+1\). Подставим \(y"=0\): \(-2x+1=0\). Решая это уравнение, мы получаем x=\(\frac{1}{2}\). Таким образом, абсцисса точки на параболе, в которой касательная параллельна оси абсцисс, равна \(\frac{1}{2}\).