Предоставлены три точки: a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),c(x3,y3,z3) в прямоугольной декартовой системе координат. Найти

Pugayuschiy_Dinozavr

40

Для решения этой задачи, нам нужно найти координаты векторов ab и ac, скалярное произведение векторов ab и ac, а также угол между векторами ab и ac.

а) Чтобы найти координаты векторов ab и ac, мы должны вычислить разность координат между соответствующими точками.

Для вектора ab:
\[
\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a}
\]

Для вектора ac:
\[
\vec{ac} = \vec{c} - \vec{a}
\]

Подставим координаты точек в эти формулы:

\[
\vec{ab} = (5, -1, 6) - (2, 3, -6) = (5-2, -1-3, 6-(-6)) = (3, -4, 12)
\]

\[
\vec{ac} = (4, 1, 3) - (2, 3, -6) = (4-2, 1-3, 3-(-6)) = (2, -2, 9)
\]

Таким образом, координаты вектора ab равны (3, -4, 12), а координаты вектора ac равны (2, -2, 9).

б) Чтобы найти скалярное произведение векторов ab и ac, мы должны перемножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения.

Формула для скалярного произведения двух векторов:

\[
\vec{ab} \cdot \vec{ac} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z
\]

Подставим координаты векторов ab и ac в формулу:

\[
\vec{ab} \cdot \vec{ac} = 3 \cdot 2 + (-4) \cdot (-2) + 12 \cdot 9
\]

\[
= 6 + 8 + 108
\]

\[
= 122
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов ab и ac равно 122.

в) Чтобы найти угол между векторами ab и ac, мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{ab} \cdot \vec{ac}}}{{|\vec{ab}| \cdot |\vec{ac}|}}
\]

где \(\theta\) - угол между векторами ab и ac.

Для вычисления длины вектора используем формулу:

\[
|\vec{v}| = \sqrt{{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}}
\]

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[
\cos(\theta) = \frac{{122}}{{\sqrt{{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} \cdot \sqrt{{2^2 + (-2)^2 + 9^2}}}}
\]

\[
= \frac{{122}}{{\sqrt{{9 + 16 + 144}} \cdot \sqrt{{4 + 4 + 81}}}}
\]

\[
= \frac{{122}}{{\sqrt{{169}} \cdot \sqrt{{89}}}}
\]

\[
\approx 0.7746
\]

Теперь найдем угол \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса:

\[
\theta = \cos^{-1}(0.7746)
\]

\[
\approx 40.2^\circ
\]

Таким образом, угол между векторами ab и ac составляет примерно 40.2 градуса.