1. Какова длина линии пересечения плоскостью и сферой, если плоскость проходит на расстоянии 12см от центра сферы

Цыпленок

51

1. Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о геометрии и связи плоскости и сферы.

Для начала, вспомним, что плоскость может пересечь сферу по кругу - это называется окружностью пересечения. Длина этой окружности будет ответом на первую задачу.

Для решения найдем радиус окружности пересечения. Можно заметить, что плоскость, проходящая через сферу, будет параллельна плоскости, в которой находится центр сферы. Такое условие позволяет утверждать, что от центра сферы до плоскости и до точки касания плоскости сферы расстояние будет одинаковым.

От центра сферы до плоскости расстояние равно 12см, а радиус сферы составляет 20см. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

\[r_{пересечения} = \sqrt{r_{сферы}^2 - h^2}\],

где \(h\) - расстояние от центра сферы до плоскости.

Подставляя значения, получаем:

\[r_{пересечения} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\].

Теперь, чтобы найти длину окружности пересечения, используем формулу:

\[L_{пересечения} = 2\pi r_{пересечения} = 2 \cdot \pi \cdot 16 = 32\pi\].

Таким образом, длина линии пересечения плоскостью и сферой равна \(32\pi\) сантиметрам.

2. В этой задаче мы должны найти площадь поверхности шара, когда плоскость, касающаяся шара, проходит на расстоянии 6см от его центра.

Плоскость, касающаяся шара, делит его поверхность на две равные по площади части - верхнюю и нижнюю полушария. Заметим, что граница между верхним и нижним полушариями является окружностью.

Радиус окружности равен расстоянию, которое указано в задаче. Тогда радиус будет равен 6см.

Применим формулу площади поверхности шара:

\[S_{поверхности} = 4\pi r^2\],

где \(r\) - радиус шара.

Подставляя значения, получим:

\[S_{поверхности} = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi\].

Ответ: площадь поверхности шара равна \(144\pi\) квадратных сантиметров.

3. В этой задаче нам нужно найти площадь сечения шара плоскостью, которая образует угол 45° с концом диаметра.

Площадь сечения шара находится с помощью формулы площади сегмента:

\[S_{сечения} = \frac{{\alpha r^2}}{2}\],

где \(\alpha\) - центральный угол, \(r\) - радиус шара.

Угол \(\alpha\) равен удвоенному углу наклона плоскости. В нашем случае, угол наклона составляет 45°, значит \(\alpha = 90°\).

Диаметр шара равен 10, а значит его радиус равен половине диаметра, то есть 5.

Подставляем значения:

\[S_{сечения} = \frac{{90 \cdot 5^2}}{2} = \frac{{90 \cdot 25}}{2} = \frac{{2250}}{2} = 1125\].

Ответ: площадь сечения шара равна 1125 квадратным сантиметрам.

4. Сфера, вписанная в куб, имеет объем, равный \(\frac{4}{3}\pi r^3\), где \(r\) - радиус сферы. Сфера, описанная вокруг куба, имеет объем, равный \(\frac{4}{3}\pi R^3\), где \(R\) - радиус сферы.

Соотношение объемов вписанной и описанной сфер можно записать как:

\[\frac{V_{вписанной}}{V_{описанной}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^3}{R^3} = \frac{100\pi}{100\pi} = 1\].

Так как объем вписанной сферы равен 100\(\pi\), получаем:

\[\frac{r^3}{R^3} = 1 \Rightarrow r^3 = R^3 \Rightarrow r = R\].

Следовательно, радиус вписанной и описанной сферы равен одному и тому же числу.

Ответ: радиус сферы, описанной вокруг данного куба, также равен 100.