1) Какова длина образующей конуса, если радиус основания составляет 2 см, а высота - корень из 7 см? 2) Если образующая

Donna

3

Хорошо, начнем с первой задачи:

1) Длина образующей конуса можно найти с помощью теоремы Пифагора. Для начала, найдем длину положительной вертикали основания конуса, которую обозначим как \(l\).

Используя теорему Пифагора, имеем:

\[l^2 = h^2 + r^2\]

где \(h\) - высота конуса, \(r\) - радиус основания.

Подставляя значения задачи, получаем:

\[l^2 = (\sqrt{7})^2 + 2^2 = 7 + 4 = 11\]

Далее извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину образующей \(l\):

\[l = \sqrt{11} \approx 3.32 \, \text{см}\]

Таким образом, длина образующей конуса составляет около 3.32 см.

Перейдем ко второй задаче:

2) Объем конуса можно найти по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота конуса.

Однако, в данной задаче нам дана длина образующей конуса. Для нахождения радиуса основания нам также понадобится угол между образующей и плоскостью основания. Обозначим этот угол как \(\theta\).

Косинус этого угла связан со значениями длины образующей \(l\) и радиуса \(r\) следующим образом:

\[\cos(\theta) = \frac{r}{l}\]
\[r = l \cdot \cos(\theta)\]

В данной задаче угол между образующей и плоскостью основания равен 45 градусов, а длина образующей \(l\) равна \(2\sqrt{2}\) см. Подставляем значения:

\[r = 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \, \text{см}\]

Теперь, используя найденное значение радиуса основания и заданную высоту конуса, мы можем найти объем конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot (2\, \text{см})^2 \cdot \sqrt{7}\, \text{см} = \frac{4}{3} \pi \sqrt{7}\, \text{см}^3\]

Получаем, что объем конуса составляет \(\frac{4}{3} \pi \sqrt{7}\, \text{см}^3\).