1. Какова формула для нахождения 10-го члена арифметической прогрессии (аn), если первый член равен 3 и разность равна

Lazernyy_Reyndzher

42

Конечно! Вот подробные решения каждой задачи:

1. Для нахождения \(a_{10}\) (10-го члена) арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 3\) и разностью \(d = 2\), мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\].

Подставив значения \(a_1 = 3\) и \(d = 2\), получим:

\[a_{10} = 3 + (10-1)2 = 3 + 9 \cdot 2 = 3 + 18 = 21\].

Формула для нахождения 10-го члена арифметической прогрессии: \(a_{10} = 21\).

2. Для нахождения суммы первых 26 членов \(S_{26}\) арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 7\), разностью \(d = 11\), мы можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)\].

Подставив значения \(a_1 = 7\) и \(d = 11\) и \(n = 26\), получим:

\[S_{26} = \frac{26}{2} (2 \cdot 7 + (26-1) \cdot 11) = 13 (14 + 25 \cdot 11) = 13 \cdot (14 + 275) = 13 \cdot 289 = 3757\].

Сумма первых 26 членов арифметической прогрессии: \(S_{26} = 3757\).

3. Найдем сумму первых 10 членов \(S_{10}\) последовательности, заданной формулой \(a_n = 5n + 2\). Для этого мы будем последовательно находить значения членов последовательности и складывать их:

\[a_1 = 5 \cdot 1 + 2 = 7\]
\[a_2 = 5 \cdot 2 + 2 = 12\]
\[a_3 = 5 \cdot 3 + 2 = 17\]
и так далее...

Проделав аналогичные операции для \(a_4, a_5, ..., a_{10}\), мы получаем значения:

\(a_4 = 22\)
\(a_5 = 27\)
\(a_6 = 32\)
\(a_7 = 37\)
\(a_8 = 42\)
\(a_9 = 47\)
\(a_{10} = 52\)

Теперь просуммируем эти значения:

\[S_{10} = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{10} = 7 + 12 + 17 + ... + 52\]

Для удобства, можем сложить значения крайних членов и умножить на количество членов, разделив на 2:

\[S_{10} = \frac{10}{2} (a_1 + a_{10}) = \frac{10}{2} (7 + 52) = 5 \cdot 59 = 295\].

Сумма первых 10 членов последовательности: \(S_{10} = 295\).

4. Для нахождения разности \(d\) арифметической прогрессии, первого члена \(a_1\) и суммы первых 11 членов \(S_{11}\) с известными значениями \(a_6 = 10\) и \(a_9 = 19\), мы можем использовать две формулы.

Сначала можем найти значение разности \(d\) используя формулу:

\[d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}\],

где \(n\) - это номер члена арифметической прогрессии.

Таким образом:

\[d = \frac{a_9 - a_6}{9 - 6} = \frac{19 - 10}{3} = \frac{9}{3} = 3\].

Теперь, зная разность \(d = 3\), можем найти первый член \(a_1\) с помощью формулы:

\[a_1 = a_n - (n - 1)d\],

где \(n\) - это номер члена арифметической прогрессии.

Подставив значения \(n = 6\), \(a_6 = 10\) и \(d = 3\), получаем:

\[a_1 = a_6 - (6 - 1)d = 10 - 5 \cdot 3 = 10 - 15 = -5\].

Наконец, для нахождения суммы первых 11 членов \(S_{11}\), можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)\].

Подставив значения \(n = 11\), \(a_1 = -5\) и \(d = 3\), получаем:

\[S_{11} = \frac{11}{2} (2 \cdot (-5) + (11-1) \cdot 3) = \frac{11}{2} (-10 + 10 \cdot 3) = \frac{11}{2} (20) = 11 \cdot 10 = 110\].

Таким образом, разность \(d = 3\), первый член \(a_1 = -5\) и сумма первых 11 членов \(S_{11} = 110\).

5. Для нахождения значений \(a_3\) и \(a_{10}\) в последовательности, заданной формулой \(a_n = n^2\), мы можем просто подставить значения \(n\) в формулу и вычислить:

\(a_3 = 3^2 = 9\)

\(a_{10} = 10^2 = 100\).

Таким образом, \(a_3 = 9\) и \(a_{10} = 100\) в последовательности, заданной формулой \(a_n = n^2\).