1. Какова площадь поверхности шара, если площадь большого круга шара равна 15? 2. Чему равна площадь поверхности шара

Даниил

12

Конечно! Давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Чтобы определить площадь поверхности шара, мы можем использовать формулу: \(S=4\pi r^2\), где \(S\) - площадь поверхности, \(\pi\) – приближенное значение числа Пи (3,14), a \(r\) – радиус шара.

2. Для задачи номер 2 у нас уже известно значение радиуса, поэтому мы можем прямо подставить данное значение в формулу \(S=4\pi r^2\) и рассчитать площадь поверхности шара:

\[S=4\pi \cdot 5^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi\ м^2\]

3. Чтобы найти во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, необходимо сравнить значения до и после увеличения радиуса. Обозначим \(S_1\) как исходную площадь поверхности шара, а \(S_2\) - площадь поверхности шара после увеличения радиуса. Затем мы можем воспользоваться формулой \(S=4\pi r^2\), чтобы сравнить два значения:

\[\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi (4r)^2}{4\pi r^2} = \frac{4\pi \cdot 16r^2}{4\pi r^2} = \frac{64r^2}{r^2} = 64\]

Ответ: площадь поверхности шара увеличится в 64 раза.

4. Для определения изменения объема шара, увеличившегося в пять раз, мы можем воспользоваться формулой объема шара: \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). Обозначим \(V_1\) как исходный объем шара, а \(V_2\) - объем шара после увеличения радиуса. Затем мы сравниваем два значения:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi (5 \cdot 5 \cdot 5)^3}{\frac{4}{3}\pi 5^3} = \frac{\frac{4}{3}\pi 125^3}{\frac{4}{3}\pi 5^3} = \frac{125^3}{5^3} = \frac{5^3 \cdot 5^3 \cdot 5^3}{5^3} = 5^3 = 125\]

Ответ: объем шара увеличится в 125 раз.

5. Чтобы найти объем шара при известной площади сечения, мы можем воспользоваться формулой сечения шара: \(S_{\text{сеч}}=\pi r^2\), где \(S_{\text{сеч}}\) – площадь сечения шара и \(r\) – радиус шара. Так как известно, что \(S_{\text{сеч}}=16 \, \text{см}^2\), мы можем решить уравнение:

\[\pi r^2 = 16\]

Решая это уравнение, мы получаем:

\[r^2 = \frac{16}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{16}{\pi}}\]

Далее, чтобы найти объем шара, мы используем формулу объема \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\):

\[V = \frac{4}{3}\pi \left(\sqrt{\frac{16}{\pi}}\right)^3\]

Ответ: объем шара равен \(\frac{4}{3}\pi \left(\sqrt{\frac{16}{\pi}}\right)^3\).

6. Мы должны найти радиус шара, у которого площадь поверхности равна сумме площадей поверхностей двух шаров с радиусами 30. Обозначим радиус искомого шара как \(r\).

Площадь поверхности первого шара: \(S_1 = 4\pi r_1^2\), где \(r_1 = 30\).

Площадь поверхности второго шара: \(S_2 = 4\pi r_2^2\), где \(r_2 = 30\).

Тогда площадь поверхности искомого шара равна: \(S = S_1 + S_2 = 4\pi r_1^2 + 4\pi r_2^2\).

Мы хотим, чтобы площадь поверхности искомого шара равнялась сумме площадей двух других шаров:

\[4\pi r^2 = 4\pi r_1^2 + 4\pi r_2^2\]

Подставляем значения радиусов:

\[4\pi r^2 = 4\pi 30^2 + 4\pi 30^2\]

\[4\pi r^2 = 4\pi (30^2 + 30^2)\]

\[r^2 = (30^2 + 30^2)\]

\[r = \sqrt{(30^2 + 30^2)}\]

Ответ: радиус шара, чья площадь поверхности равна сумме площадей поверхностей двух шаров с радиусами 30, равен \(\sqrt{(30^2 + 30^2)}\).