1. Каково расстояние от точки К до прямой AC в равнобедренном треугольнике ABC, когда через вершину В проведена

Ogonek

63

через точку К и прямую AC проведена прямая, образующая угол 60 градусов с прямой AC.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством равнобедренного треугольника, которое гласит, что биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника при перпендикулярных проведениях к основанию и противолежащих сторонах, является еще и высотой этого треугольника.

Построим точку M пересечения прямой Кв и прямой AC. Получится треугольник КМС, в котором МК является биссектрисой. Так как треугольник КМС является равнобедренным и МК - биссектриса, то у нас есть равенство МК = МС. Также нам известны стороны треугольника КМС: AB = BC = 10 см и AC = 12 см.

Так как треугольник КМС равнобедренный, то угол КМС = угол КСМ. Поскольку угол КСМ равен 60 градусов, угол КМС также равен 60 градусов.

Пользуясь теоремой синусов в треугольнике КМС, мы можем найти значение стороны МК:

\[\frac{МК}{sin 60} = \frac{AC}{sin \angle КМС}\]

Заметим, что угол КМС = угол КSM, потому что треугольники КМС и КСМ равнобедренные.

\[\frac{МК}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\frac{МС}{10}}\]

\[\frac{МК \cdot МС}{\sqrt{3}} = 120\]

\[\sqrt{3} \cdot МК \cdot МС = 120\]

Так как у нас есть равенство МК = МС, подставим это значение в уравнение:

\[\sqrt{3} \cdot МК^2 = 120\]

\[МК^2 = \frac{120}{\sqrt{3}}\]

\[МК = \sqrt{\frac{120}{\sqrt{3}}}\]

\[МК = \sqrt{\frac{120}{\sqrt{3}}} \approx 10,97 \, см\]

Таким образом, расстояние от точки К до прямой AC в равнобедренном треугольнике ABC составляет около 10,97 см.