Сколько положительных целых чисел, которые меньше 101, нельзя представить как разность квадратов двух натуральных

Belka

47

Для решения данной задачи нам необходимо определить, какие положительные целые числа меньше 101 нельзя представить как разность квадратов двух натуральных чисел.

Последовательно проверим каждое положительное целое число, начиная с 1 и заканчивая 100. Для каждого числа проверим все возможные комбинации квадратов двух натуральных чисел.

Начнем с 1. 1 можно представить как разницу квадратов чисел 1 и 0, так что это число можно представить.

Продолжим проверять оставшиеся числа до 100. Для каждого числа проверим все комбинации квадратов, начиная с 2. Если найдется хотя бы одна комбинация, представляющая данное число в виде разности квадратов, то это число можно представить. Если ни одна комбинация не подходит, то это число нельзя представить как разность квадратов.

Обратим внимание, что каждое положительное целое число \( n \) можно записать в виде \( n = a^2 - b^2 \), где \( a = b + k \), где \( k \) - натуральное число. Тогда, подставив \( a = b + k \) в выражение для \( n \), получим:

\( n = (b + k)^2 - b^2 \)

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим:

\( n = b^2 + 2bk + k^2 - b^2 \)

Таким образом, \( n = 2bk + k^2 \). Заметим, что наше число \( n \) представимо в виде разности квадратов двух натуральных чисел только в том случае, если оно делится на \( k \).

Теперь можем перейти к проверке каждого числа от 1 до 100, включая. Для каждого числа \( n \) проверим, делится ли оно на любое натуральное число \( k \), начиная с 1 и заканчивая \( \sqrt{n} \). Если найдется хотя бы одно \( k \), на которое \( n \) делится, значит, это число можно представить как разность квадратов двух натуральных чисел. Если такого \( k \) не найдется, то число \( n \) нельзя представить в виде разности квадратов.

Применяя данный подход, для каждого числа от 1 до 100, мы должны проверить его на деление на все натуральные числа от 1 до 10 (поскольку \( \sqrt{100} = 10 \)). Если число делится хотя бы на одно из этих чисел, значит, оно можно представить в виде разности квадратов. Если не делится ни на одно из этих чисел, то оно не представимо.

Таким образом, применяя данную методику, мы можем определить количество положительных целых чисел, которые нельзя представить как разность квадратов двух натуральных чисел, меньше 101.