Сколько цифр есть в результате возведения числа 4 в степень 50 и умножения его на число 5 в степени 105?

Елизавета

38

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.
1. Сначала найдем результат возведения числа 4 в степень 50:
\[4^{50}\]

2. Для умножения чисел в степени, мы можем сложить показатели степеней:
\[4^{50} \cdot 5^{105} = 4^{50+105}\]

3. Теперь найдем значение показателя степени:
\[50+105 = 155\]

4. Подставим полученное значение обратно в уравнение:
\[4^{50} \cdot 5^{105} = 4^{155}\]

5. Теперь оценим количество цифр в числе \(4^{155}\). Чтобы это сделать, необходимо найти количество цифр в числе без вычисления его точного значения.

6. Мы можем использовать логарифмическую функцию, чтобы приближенно определить количество цифр в числе. Для этого воспользуемся формулой:
\[d = \lfloor \log_{10} n \rfloor + 1\],
где \(d\) - количество цифр числа \(n\).

7. Применяя эту формулу, найдем количество цифр в числе \(4^{155}\):
\[d = \lfloor \log_{10} 4^{155} \rfloor + 1\]

8. Найдем значение логарифма и округлим его до целого числа:
\[\log_{10} 4^{155} \approx 233.573\]
\[\lfloor 233.573 \rfloor = 233\]

9. Итак, количество цифр в числе \(4^{155}\) будет равно 233.

Ответ: В результате возведения числа 4 в степень 50 и умножения его на число 5 в степень 105 получается число, состоящее из 233 цифр.