1) Каковы значения аргумента, при которых функция y=5+4x-x^2 имеет отрицательные значения? 2) При каких значениях

Веселый_Зверь

64

1) Чтобы определить значения аргумента, при которых функция \(y = 5 + 4x - x^2\) имеет отрицательные значения, нужно найти корни этой функции. Найденные корни будут значениями аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

Для этого, нужно решить уравнение \(5 + 4x - x^2 = 0\).

Чтобы решить квадратное уравнение, можно использовать формулу дискриминанта. Дискриминант D определяется следующим образом:
\[D = b^2 - 4ac\]
где уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае, уравнение \(5 + 4x - x^2 = 0\) соответствует \(a = -1, b = 4, c = 5\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
\[D = 4^2 - 4(-1)(5) = 16 + 20 = 36\]

Так как дискриминант положительный (D > 0), это означает, что у квадратного уравнения есть два различных вещественных корня.

Теперь найдем сами корни уравнения, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(D\):
\[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2(-1)} = \frac{-4 + 6}{-2} = -1\]
\[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2(-1)} = \frac{-4 - 6}{-2} = 5\]

Итак, мы получили два значения аргумента, при которых функция \(y = 5 + 4x - x^2\) имеет отрицательные значения: \(x = -1\) и \(x = 5\).

2) Чтобы определить, при каких значениях аргумента функция \(y = 5 + 4x - x^2\) является возрастающей, нужно найти интервалы, на которых производная функции положительна.

Сначала найдем производную функции \(y"(x)\) по аргументу \(x\):
\[y"(x) = \frac{d}{dx}(5 + 4x - x^2) = 4 - 2x\]

Так как производная \(y"(x)\) определяет скорость изменения функции \(y(x)\), то функция будет возрастающей на тех участках, где \(y"(x) > 0\).

Найдем точку, в которой производная равна нулю, чтобы определить изменение знака:
\[4 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\]

Теперь мы знаем, что \(y"(x) > 0\) при \(x < 2\) и \(y"(x) < 0\) при \(x > 2\).

Значит, функция \(y = 5 + 4x - x^2\) является возрастающей на интервале \((-\infty, 2)\).