1. Какой объем у многогранника, получившегося после отрезания части правильной шестиугольной пирамиды, если объем

Цикада

69

Хорошо, давайте решим по очереди каждую задачу:

1. Для решения этой задачи, нам понадобится знать формулу для объема пирамиды. Объем пирамиды можно найти, умножив площадь основания на высоту и поделив результат на 3. Поскольку данная пирамида является правильной и имеет шестиугольное основание, у нас есть дополнительные сведения.

Правильное шестиугольное основание можно разделить на 6 равносторонних треугольников. Поскольку отрезанная часть составляет некоторый объем, мы можем найти высоту пирамиды и объем отрезанной части. Обозначим буквой \(h\) высоту пирамиды, \(A\) - площадь шестиугольного основания, \(V\) - объем отрезанной части, а \(V_{\text{пир}}\) - искомый объем пирамиды.

Теперь мы можем записать систему уравнений:
\[
\begin{align*}
V_{\text{пир}} &= \frac{1}{3} \cdot A \cdot h \\
V &= \frac{1}{3} \cdot A \cdot h_{\text{отр}} \\
V &= V_{\text{пир}} - 8
\end{align*}
\]

Теперь найдем выражение для \(h_{\text{отр}}\). Поскольку отрезанная часть - это просто пирамида с тем же шестиугольным основанием, высота отрезанной части будет равна \(h_{\text{отр}} = \frac{8}{A}\).

Теперь мы можем выразить \(V_{\text{пир}}\) через \(V\):
\[
V_{\text{пир}} = V + 8
\]

Подставив это значение в первое уравнение, получим:
\[
V + 8 = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h
\]

Аналогично, подставив \(h_{\text{отр}}\), получим:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot A \cdot \frac{8}{A}
\]

Упростим:
\[
V = \frac{8}{3}
\]

Теперь мы можем найти \(h\):
\[
V + 8 = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h \Rightarrow h = \frac{3}{A} \cdot (V + 8)
\]

Остается только найти \(V_{\text{пир}}\):
\[
V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h = \frac{1}{3} \cdot A \cdot \frac{3}{A} \cdot (V + 8) = V + 8 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{32}{3}
\]

Таким образом, объем многогранника, получившегося после отрезания части правильной шестиугольной пирамиды, равен \(\frac{32}{3}\).

2. В данной задаче нам нужно найти объем конуса, используя дополнительную информацию о его основании и вершине.

Мы знаем, что площадь основания конуса равна площади круга, а объем определяется как треть произведения площади основания на высоту конуса.

Так как основание конуса образуется плоскостью, проходящей через середину высоты и параллельную основанию, его можно считать кругом. Обозначим площадь этого круга как \(A\).

Также, мы знаем, что объем конуса равен 16. Обозначим высоту конуса как \(h\) и подставим эти значения в формулу объема конуса:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h
\]

Используя информацию о геометрических свойствах заданного конуса (центр вершины находится в центре основания), можно выразить высоту конуса через радиус основания \(r\):
\[
h = 2r
\]

Теперь, совместим эти два уравнения:
\[
16 = \frac{1}{3} \cdot A \cdot 2r
\]

Упростим:
\[
16 = \frac{2}{3} \cdot A \cdot r
\]

На данном этапе нам необходимо найти \(A\). Для этого мы используем информацию о геометрии конуса. Так как плоскость, образующая основание конуса, проходит через середину высоты конуса, она делидит высоту конуса пополам. Заменив \(h\) на \(2r\) в уравнении для площади круга, получаем:
\[
A = \pi \cdot r^2
\]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение для объема:
\[
16 = \frac{2}{3} \cdot (\pi \cdot r^2) \cdot r
\]

Упростим это:
\[
16 = \frac{2\pi}{3} \cdot r^3
\]

Разделим обе стороны на \(\frac{2\pi}{3}\), чтобы избавиться от коэффициента:
\[
\frac{16}{\frac{2\pi}{3}} = r^3
\]

Упростим еще раз:
\[
r^3 = \frac{24}{\pi}
\]

Теперь найдем радиус основания конуса, извлекая кубический корень:
\[
r = \sqrt[3]{\frac{24}{\pi}}
\]

Таким образом, радиус основания конуса равен \(\sqrt[3]{\frac{24}{\pi}}\).

Теперь мы можем найти высоту конуса, подставив это значение в уравнение для \(h\):
\[
h = 2r = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{24}{\pi}}
\]

И, наконец, найдем объем конуса, используя формулу объема:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\pi \cdot r^2) \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{24}{\pi}} = \frac{2}{3} \pi \cdot r^2 \cdot \sqrt[3]{\frac{24}{\pi}}
\]

Мы получили окончательный ответ: объем конуса равен \(\frac{2}{3} \pi \cdot r^2 \cdot \sqrt[3]{\frac{24}{\pi}}\).

3. В этой задаче нам нужно найти площадь сечения, образованного плоскостью, проходящей через середины трех боковых сторон, в правильной четырехугольной пирамиде.

Поскольку пирамида является правильной, все ее боковые стороны равны между собой, и сечение будет иметь форму треугольника.

Обозначим сторону пирамиды как \(a\) и площадь треугольника как \(S\).

Так как плоскость сечения проходит через середины боковых сторон, она делит каждую сторону пополам, создавая два равных равнобедренных треугольника. Если мы нарисуем перпендикуляр к стороне пирамиды, проходящий через середину стороны, он разделит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника. В данном случае, каждый катет будет равен \(\frac{a}{2}\).

Теперь, учитывая эти знания, мы можем записать формулу для площади сечения пирамиды:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}
\]

Таким образом, площадь сечения, образованного плоскостью, проходящей через середины трех боковых сторон, будет равна \(\frac{a^2}{8}\).