1) Какой результат вычисления значения выражения (a+12)/(4a+16) - (a+4)/(4a-16) + (19/(a^2-16))? 2) Что будет

Ветерок

69

1) Чтобы вычислить значение данного выражения, нам нужно произвести несколько шагов.

Шаг 1: Вначале распространим числитель и знаменатель каждой дроби в выражении. Получим следующее:

\(\frac{{a + 12}}{{4a + 16}} - \frac{{a + 4}}{{4a - 16}} + \frac{{19}}{{a^2 - 16}}\)

Шаг 2: Раскроем скобки в знаменателе дроби \(\frac{{19}}{{a^2 - 16}}\). Мы можем заменить \(a^2 - 16\) на \((a + 4)(a - 4)\). Таким образом, получим:

\(\frac{{a + 12}}{{4a + 16}} - \frac{{a + 4}}{{4a - 16}} + \frac{{19}}{{(a + 4)(a - 4)}}\)

Шаг 3: Приведем общие знаменатели для всех трех дробей. Общим знаменателем будет знаменатель первой дроби, \(4a + 16\). Теперь выражение будет выглядеть следующим образом:

\(\frac{{(a + 12)(4a - 16)}}{{(4a + 16)(4a - 16)}} - \frac{{(a + 4)(4a + 16)}}{{(4a - 16)(4a + 16)}} + \frac{{19}}{{(a + 4)(a - 4)}}\)

Шаг 4: Произведем умножение в числителях и знаменателях каждой дроби:

\(\frac{{4a^2 - 4a - 48a + 192}}{{16a^2 - 256}} - \frac{{4a^2 + 16a + 4a + 16}}{{16a^2 - 256}} + \frac{{19}}{{a^2 - 16}}\)

После сокращения получим:

\(\frac{{4a^2 - 52a + 192}}{{16a^2 - 256}} + \frac{{23}}{{a^2 - 16}}\)

Шаг 5: Разложим выражение на две отдельные дроби:

\(\frac{{4a^2 - 52a + 192}}{{16a^2 - 256}} + \frac{{23}}{{(a + 4)(a - 4)}}\)

Шаг 6: Приведем первую дробь к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на 16:

\(\frac{{(4a^2 - 52a + 192) + 23 \cdot (16)}}{{16a^2 - 256}}\)

Упростим числитель:

\(\frac{{4a^2 - 52a + 192 + 368}}{{16a^2 - 256}}\)

Итак, итоговый результат вычисления данного выражения равен:

\(\frac{{4a^2 - 52a + 560}}{{16a^2 - 256}}\)

2) Давайте теперь рассчитаем результат второго выражения пошагово:

Шаг 1: Распространим числитель и знаменатель каждой дроби в выражении. Получим следующее:

\(\frac{{8a^3 + 36a}}{{a^3 + 27}} - \frac{{4a^2}}{{a^2 - 3a + 9}}\)

Шаг 2: Приведем общие знаменатели для обеих дробей. Общим знаменателем будет знаменатель второй дроби, \(a^2 - 3a + 9\). Теперь выражение будет выглядеть следующим образом:

\(\frac{{(8a^3 + 36a)(a^2 - 3a + 9)}}{{(a^3 + 27)(a^2 - 3a + 9)}} - \frac{{4a^2(a^3 + 27)}}{{(a^2 - 3a + 9)(a^3 + 27)}}\)

Шаг 3: Упростим числитель каждой дроби:

\((8a^5 - 24a^4 + 72a^3 + 36a^3 - 108a^2 + 324a + 72a - 216)\)
и
\(4a^5 + 108a^2\)

Шаг 4: Раскроем скобки в знаменателях дробей и произведем сокращение:

\((a^5 + 3a^4 - 9a^3 + 9a^2 - 27a + 81)(a^3 + 27)\)
и
\((a^2 - 3a + 9)(a^3 + 27)\)

Шаг 5: Упростим знаменатели:

\((a^8 + 30a^6 + 243a^5 - 9a^7 - 270a^4 - 81a^3 + 9a^6 + 243a^4 + 729a^2 - 27a^5 - 810a^2 - 243a)\)
и
\((a^5 + 27a^2 - 3a^4 - 81a^3 + 9a^2 + 243)\)

Шаг 6: Приведем числители и знаменатели к общему знаменателю, упростив получившиеся дроби. Итоговый результат:

\(\frac{{-a^8 + 12a^7 + 333a^6 + 324a^5 + 351a^4 + 630a^3 + 720a^2 - 243a}}{{a^8 - 30a^6 + 243a^5 - 18a^7 + 270a^4 + 90a^3 - 810a^2 - 27a}}\)