1) Какой угол AQO, если ∠APH=135∘ и ∠C=40∘, в остроугольном треугольнике ABC с ортоцентром H, центром описанной

Kosmicheskaya_Charodeyka

2

Давайте рассмотрим оба вопроса по очереди:

1) Нам дано, что \(\angle APH = 135^\circ\) и \(\angle C = 40^\circ\) в остроугольном треугольнике ABC. Нам нужно найти угол \(\angle AQO\).

Для начала, заметим, что остроугольный треугольник ABC означает, что все его углы (включая угол \(\angle C\)) будут меньше 90 градусов.

Давайте рассмотрим несколько свойств ортоцентра H, центра описанной окружности O и пересечений лучей BH и CO в точке P, а лучей CH и BO в точке Q.

1. Пересечение лучей BH и CO в точке P будет образовывать прямой угол с основанием AB. Следовательно, \(\angle APB = 90^\circ\).

2. Пересечение лучей CH и BO в точке Q также будет образовывать прямой угол с основанием AC. Следовательно, \(\angle AQC = 90^\circ\).

3. Ортоцентр H — это точка пересечения высот треугольника ABC. Обратите внимание, что треугольник ABC имеет острые углы, а значит, все его высоты будут пересекаться внутри треугольника. Комбинируя это свойство с предыдущими двумя, мы можем заключить, что прямые PH и QH будут являться высотами треугольника ABC. Следовательно, \(\angle APH = \angle C\) и \(\angle AQO = \angle PHQ\).

4. В исходной задаче нам дано, что \(\angle APH = 135^\circ\), поэтому \(\angle C = 135^\circ\).

5. Теперь, чтобы найти значение угла \(\angle AQO\), нам нужно определить его как угол \(\angle PHQ\). Заметим, что \(\angle PHQ\) является суммой углов \(\angle APH\) и \(\angle AQC\). Подставляя известные значения, получаем: \(\angle PHQ = \angle APH + \angle AQC = 135^\circ + 90^\circ = 225^\circ\).

Таким образом, угол \(\angle AQO\) равен 225 градусам.

2) Во втором вопросе мы имеем треугольник ABC с точками D, E и F на сторонах BC, CA и AB соответственно, и пересечением прямых BE и CF в точке P. Нам нужно найти угол \(\angle PDA\).

Здесь у нас есть несколько заданных значений углов:

\(\angle FDB = \angle EDC = 10^\circ\)

и

\(\angle PDE = 95^\circ\).

Давайте вспомним, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Мы можем применить это свойство для нашего треугольника ABC:

\(\angle CAB + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник ADE:

\(\angle ADE + \angle DEA + \angle EDA = 180^\circ\).

Так как точка P лежит на отрезке BE, мы можем применить теорему о противоположных углах:

\(\angle PDE = \angle CDE = 95^\circ\).

Мы также знаем, что \(\angle EDC = 10^\circ\).

Теперь вернемся к треугольнику ABC и взглянем на сторону CA:

\(\angle ABC + \angle BCA = \angle FDB - \angle EDC\).

Подставляя известные значения, получаем:

\(\angle ABC + \angle BCA = 10^\circ - 10^\circ = 0^\circ\).

Это означает, что угол \(\angle ABC\) и угол \(\angle BCA\) суммируются до нуля градусов.

Теперь, чтобы найти угол \(\angle PDA\), мы можем использовать данные о треугольнике ABC.

Мы знаем, что сумма углов треугольника ABC равна 180 градусам:

\(\angle CAB + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ\).

Подставляя известные значения, получаем:

\(\angle CAB + 0^\circ + \angle CAB = 180^\circ\).

Таким образом, \(\angle CAB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ADE. Угол \(\angle PDA\) является внешним углом треугольника ADE, поэтому он равен сумме двух противолежащих внутренних углов:

\(\angle PDA = \angle ADE + \angle AED\).

Мы уже знаем, что \(\angle ADE = \angle PDE = 95^\circ\).

Также, угол \(\angle AED\) является углом при вершине треугольника CAB, следовательно, он равен 90 градусам.

Подставляя известные значения, получаем:

\(\angle PDA = 95^\circ + 90^\circ = 185^\circ\).

Таким образом, угол \(\angle PDA\) равен 185 градусам.

Это подробное решение должно помочь понять школьнику каждый шаг и обоснование ответа.