1) Какой является наибольший радиус окружности (x-5)^2+(y-1)^2=r^2, в пределах координатной плоскости, где x≥-1

Мистический_Жрец

53

Задача 1:

Для определения наибольшего радиуса окружности в пределах указанной области, мы должны найти точки, которые лежат на границе этой области и удовлетворяют уравнению окружности.

Уравнение окружности задано как \((x-5)^2 + (y-1)^2 = r^2\). Раскроем скобки:
\[x^2 -10x + 25 + y^2 - 2y + 1 = r^2\]
\[x^2 -10x + y^2 - 2y +26 = r^2\]

Теперь мы можем найти границы области, учитывая условия \(x \geq -1\) и \(y \leq 4\).

Для начала найдем точки, в которых \(x = -1\):
\((-1)^2 -10(-1) + y^2 - 2y +26 = r^2\)
\[1 + 10 + y^2 - 2y + 26 = r^2\]
\[y^2 - 2y + 37 = r^2\]

Теперь найдем точки, в которых \(y = 4\):
\[x^2 -10x + 4^2 - 2\cdot4 + 26 = r^2\]
\[x^2 -10x + 16 - 8 + 26 = r^2\]
\[x^2 -10x + 34 = r^2\]

Итак, границы области в координатах окружности (x, y) соответствуют следующим уравнениям:
\[y^2 - 2y + 37 = r^2\]
\[x^2 -10x + 34 = r^2\]
\[x \geq -1\]
\[y \leq 4\]

Чтобы найти наибольший радиус, нужно рассмотреть пересечение этих уравнений. Окружность должна быть внутри этого пересечения.

Теперь решим систему уравнений численно. Давайте найдем точки пересечения окружности с указанной областью.

Система уравнений:
\[\begin{cases}
y^2 - 2y + 37 = r^2 \\
x^2 -10x + 34 = r^2 \\
x \geq -1 \\
y \leq 4
\end{cases}\]

Объединим в одно уравнение:
\[y^2 - 2y + 37 = x^2 -10x + 34\]

Перенесем все в одну сторону:
\[x^2 -10x -y^2 + 2y -3 = 0\]

Мы имеем квадратное уравнение, и чтобы найти точки пересечения, нужно решить это уравнение. Однако, чтобы упростить задачу для понимания и расчетов, мы можем использовать программное обеспечение для поиска и визуализации точек пересечения.

Пожалуйста, проведите такую программу по отысканию точек пересечения указанной окружности с заданной областью.