1. Между какими соседними натуральными числами находится число: а) квадратный корень из 103; b) 6 плюс квадратный

Смешарик_1095

64

Хорошо, давайте решим эти математические задачи по порядку.

1. а) Чтобы определить, между какими соседними натуральными числами находится квадратный корень из 103, нужно найти два натуральных числа, между которыми находится это число. Найдем эти числа, возведя их в квадрат и сравнивая результаты:

\( 10^2 = 100 \), а \( 11^2 = 121 \).

Мы видим, что \( 10^2 < 103 < 11^2 \), значит, квадратный корень из 103 находится между 10 и 11.

б) Аналогичным образом, чтобы найти между какими числами находится число \( 6 + \sqrt{37} \), возводим числа в квадрат и сравниваем результаты:

\( (6 + \sqrt{37})^2 = 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{37} + 37 = 73 + 12\sqrt{37} \).

Теперь сравниваем:

\( 8^2 = 64 \), а \( 9^2 = 81 \).

Получаем, что \( 64 < 73 + 12\sqrt{37} < 81 \), значит, число \( 6 + \sqrt{37} \) находится между 8 и 9.

2. Для выражения вида \( \sqrt{50x} - \sqrt{18x} + \sqrt{72x} \) сначала попробуем упростить каждый квадратный корень отдельно:

\( \sqrt{50x} = \sqrt{25 \cdot 2x} = 5\sqrt{2x} \),

\( \sqrt{18x} = \sqrt{9 \cdot 2x} = 3\sqrt{2x} \),

\( \sqrt{72x} = \sqrt{36 \cdot 2x} = 6\sqrt{2x} \).

Теперь заменяем исходное выражение:

\( \sqrt{50x} - \sqrt{18x} + \sqrt{72x} = 5\sqrt{2x} - 3\sqrt{2x} + 6\sqrt{2x} \).

Получаем:

\( 5\sqrt{2x} - 3\sqrt{2x} + 6\sqrt{2x} = 8\sqrt{2x} \).

3. Чтобы представить числа в виде квадратного корня из \(a\) и упорядочить их по возрастанию, в каждом числе мы должны выделить коэффициент перед квадратным корнем и само число под корнем. Давайте сделаем это для каждого числа:

-7квадратный корень из 2: здесь коэффициент равен -7, а число под корнем равно 2.
- 5квадратный корень из 1/5: коэффициент равен -5, число под корнем равно 1/5.
- 1/3 квадратного корня из 54: коэффициент равен 1/3, число под корнем равно 54.
2квадратный корень из 17: коэффициент равен 2, число под корнем равно 17.

Теперь упорядочим эти числа по возрастанию:

- 5квадратный корень из 1/5 < 1/3 квадратного корня из 54 < -7квадратный корень из 2 < 2квадратный корень из 17.

4. а) Чтобы сократить дробь \( \frac{{3-b^2}}{{\sqrt{3+b}}} \), сначала заметим, что можем применить формулу разности квадратов:

\( 3 - b^2 = (3 + b)(3 - b) \).

Теперь подставляем эту формулу в исходную дробь:

\( \frac{{(3+b)(3-b)}}{{\sqrt{3+b}}} \).

Остается сократить (3 + b) в числителе и знаменателе:

\( \frac{{(3+b)(3-b)}}{{\sqrt{3+b}}} = \frac{{(3-b)}}{{\sqrt{3+b}}}\).

б) Для сокращения дроби \( \frac{{5 - \sqrt{5}}}{{\sqrt{2}^2 - \sqrt{2}}} \) применим формулу суммы квадратных корней:

\( \sqrt{a}^2 - \sqrt{b}^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \).

Подставим ее:

\( \frac{{5 - \sqrt{5}}}{{\sqrt{2}^2 - \sqrt{2}}} = \frac{{5 - \sqrt{5}}}{{2 - \sqrt{2}}}\).

Теперь сократим числитель и знаменатель на (5 - \sqrt{5}):

\( \frac{{5 - \sqrt{5}}}{{2 - \sqrt{2}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\).

Итак, мы сократили данную дробь до \( \frac{1}{\sqrt{2}} \), что дает ответ.