Сколько различных команд, состоящих из одного командира и пяти игроков, можно сформировать из 15 спортсменов?

Mango_8003

37

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику, конкретно понятие комбинации.

Для начала, давайте поясним, что такое комбинация. Комбинация - это выбор некоторого количества элементов из общего множества таким образом, что порядок выбранных элементов не имеет значения.

В данной задаче мы ищем команды, состоящие из одного командира и пяти игроков. Из 15 спортсменов мы должны выбрать 1 из них в качестве командира и 5 из оставшихся 14 в качестве игроков.

Для решения этой задачи мы можем использовать сочетания. Формула для вычисления числа сочетаний (обозначается как C) из n элементов по k элементов выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

где n! обозначает факториал числа n, который представляет собой произведение всех целых чисел от 1 до n.

Применяя формулу для нашей задачи, мы получим:

\[C(15, 1) \times C(14, 5)\]

\[= \frac{{15!}}{{1!(15-1)!}} \times \frac{{14!}}{{5!(14-5)!}}\]

\[= \frac{{15!}}{{1! \times 14!}} \times \frac{{14!}}{{5! \times 9!}}\]

\[= \frac{{15!}}{{1! \times 14!}} \times \frac{{14!}}{{5! \times 9!}}\]

\[= \frac{{15 \times 14!}}{{1! \times 14 \times 13!}} \times \frac{{14!}}{{5! \times 9!}}\]

\[= \frac{{15}}{{1}} \times \frac{{14!}}{{14 \times 13!}} \times \frac{{14!}}{{5! \times 9!}}\]

\[= 15 \times \frac{{14 \cdot 13!}}{{14 \times 13!}} \times \frac{{14!}}{{5! \times 9!}}\]

\[= 15 \times 1 \times \frac{{14!}}{{5! \times 9!}}\]

\[= 15 \times \frac{{14!}}{{5! \times 9!}}\]

\[= 15 \times \frac{{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9!}}\]

\[= 15 \times \frac{{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[= 3 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10\]

\[= 3 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 110\]

\[= 51480\]

Таким образом, существует 51480 различных команд, состоящих из одного командира и пяти игроков, которые можно сформировать из 15 спортсменов.