Какова полная поверхность правильной треугольной пирамиды с периметром основания равным 12 и апофемой равной 6√3?

Gosha

45

Для начала, давайте определим, что такое полная поверхность треугольной пирамиды. Полная поверхность представляет собой сумму площадей всех ее боковых граней и площади основания.

Дано, что периметр основания равен 12 и апофема равна 6√3. Воспользуемся этой информацией для нахождения высоты основания пирамиды.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. У нас есть равносторонний треугольник основания, поэтому длина каждой его стороны равна периметру поделенному на 3:

сторона = п = 12 / 3 = 4

Апофема треугольной пирамиды - это расстояние от ее вершины до середины одного из ее ребер. Для равносторонней треугольной пирамиды апофема связана с длиной стороны и высотой таким образом:

апофема = сторона / (2√3)

6√3 = 4 / (2√3)

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, мы можем умножить обе части уравнения на √3:

6√3 * √3 = 4 * √3 / (2√3) * √3

6 * 3 = 4 * √3

18 = 4 * √3

Теперь найдем высоту треугольной пирамиды, используя середину одного из ребер как основание, апофему и теорему Пифагора:

высота^2 = апофема^2 - (основание / 2)^2

высота^2 = (6√3)^2 - (4/2)^2

высота^2 = 36 * 3 - 2^2

высота^2 = 108 - 4

высота^2 = 104

высота = √104 = 2√26

Теперь у нас есть длина стороны и высота, поэтому мы можем найти площадь каждой боковой грани треугольной пирамиды.

Площадь боковой грани треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту:

площадь_боковой_грани = (п / 2) * высота

площадь_боковой_грани = (4 / 2) * 2√26 = 4√26

Теперь найдем площадь основания треугольной пирамиды, зная длину стороны:

площадь_основания = (сторона^2 * √3) / 4

площадь_основания = (4^2 * √3) / 4 = 4√3

Наконец, найдем полную поверхность треугольной пирамиды, сложив площади боковых граней и площадь основания:

полная_поверхность = площадь_боковой_грани * кол-во_боковых_граней + площадь_основания

Из условия задачи не указано количество боковых граней у пирамиды, предположим, что это треугольная пирамида. В этом случае количество боковых граней равно 3.

полная_поверхность = 4√26 * 3 + 4√3

полная_поверхность = 12√26 + 4√3

Таким образом, полная поверхность правильной треугольной пирамиды с периметром основания равным 12 и апофемой равной 6√3 равна 12√26 + 4√3.