1. На скільки відсотків збільшився тиск у закритій посудині після передачі 2,7 кДж теплоти гелію, який знаходився

Zhuravl

13

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Задача: На сколько процентов увеличилось давление в закрытом сосуде после передачи 2,7 кДж теплоты гелию, которое находилось там при температуре 27 °C и имело объем 3 моль?

Решение: Для решения этой задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где P - давление, V - объем, n - количество вещества в молях, R - универсальная газовая постоянная (8.314 J/(mol·K)), T - температура в Кельвинах.

Сначала найдем начальное давление geleni в закрытом сосуде при температуре 27 °C, переведя температуру в Кельвины:

\[T = 27 + 273 = 300 K\]

Величина начального давления выражается следующим образом:

\[P_1V_1 = nRT_1\]

\[P_1 = \frac{{nRT_1}}{{V_1}}\]

Substituting the given values:

\[P_1 = \frac{{3 \cdot 8.314 \cdot 300}}{{3}} = 2494 \,Pa\]

Теперь можно перейти к конечному давлению, которое будет равно сумме начального давления и изменения давления (ΔP). Известно, что изменение внутренней энергии газа связано с количеством переданной теплоты следующим соотношением:

\(\Delta U = Q - W\)

где ΔU - изменение внутренней энергии, Q - количество теплоты, W - совершенная работа газом.

Поскольку гелий - монотомный газ, то для такого газа внутренняя энергия связана только с кинетической энергией его молекул. Поэтому изменение внутренней энергии можно выразить через изменение температуры:

\(\Delta U = \frac{3}{2} nR\Delta T\)

где ΔT - изменение температуры газа.

Так как гелий находится в закрытом сосуде, то объем остается постоянным, и работа газа равняется нулю (\(W = 0\)). Тогда получаем:

\(\Delta U = Q\)

Теперь можем найти изменение температуры и конечную температуру газа, используя полученное ранее начальное давление и переданную теплоту:

\(\Delta U = \frac{3}{2} nR\Delta T\)

\(2.7 \times 10^3 = \frac{3}{2} \times 3 \times 8.314 \times\Delta T\)

\(\Delta T = \frac{2.7 \times 10^3}{\frac{3}{2} \times 3 \times 8.314}\)

\(\Delta T \approx 51.43 K\)

\(T_2 = T_1 + \Delta T = 300 + 51.43 = 351.43 K\)

Таким образом, конечное давление (P2) можно найти, используя уравнение состояния идеального газа:

\(P_2V_1 = nRT_2\)

\(P_2 = \frac{{nRT_2}}{{V_1}}\)

Подставим известные значения:

\(P_2 = \frac{{3 \times 8.314 \times 351.43}}{{3}} = 8720 \,Pa\)

Наконец, чтобы определить процентное изменение давления, используем следующую формулу:

\(\text{Процентное изменение давления} = \frac{{P_2 - P_1}}{{P_1}} \times 100\%\)

\(\text{Процентное изменение давления} = \frac{{8720 - 2494}}{{2494}} \times 100\% \approx 249.7\%\)

Ответ: Давление в закрытом сосуде увеличилось на примерно 249.7%.

2. Задача: Какая работа была выполнена идеальным одноатомным газом во время изобарного нагрева, если ему передали 9.4 МДж теплоты, а также насколько изменилась его внутренняя энергия?

Решение: Во время изобарного нагрева давление газа остается постоянным (\(P = const\)). Работа газа в этом случае может быть найдена по формуле:

\(W = P \Delta V\)

где P - постоянное давление газа, \(\Delta V\) - изменение объема газа.

Для нахождения работы необходимо знать изменение объема газа. В идеальном газе объем изменяется пропорционально изменению температуры:

\(\Delta V = \alpha V \Delta T\),

где \(\alpha\) - коэффициент температурного расширения газа, V - начальный объем газа, \(\Delta T\) - изменение температуры газа.

Из уравнения состояния идеального газа:

\(PV = nRT\),

где n - количество вещества в молях, R - универсальная газовая постоянная (8.314 J/(mol·K)), T - температура в Кельвинах,

мы можем выразить объем V:

\(V = \frac{{nRT}}{{P}}\)

Тогда изменение объема можно записать следующим образом:

\(\Delta V = \alpha \frac{{nRT}}{{P}} \Delta T\)

Так как у нас идет изобарный процесс, давление остается постоянным, поэтому работа газа будет равна:

\(W = P \Delta V = P \alpha \frac{{nRT}}{{P}} \Delta T = nR\alpha\Delta T\)

Теперь мы можем найти работу, используя известные значения:

\(W = 3 \times 8.314 \times 10^{-3} \times 9.4 \times 10^{6} = 233.3 \, Дж\)

Для нахождения изменения внутренней энергии газа используем первый закон термодинамики:

\(\Delta U = Q - W\)

где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии газа, Q - количество теплоты, W - совершенная работа газа.

Так как работа газа положительная, а газ поглощает теплоту Q (9.4 МДж), то:

\(\Delta U = 9.4 \times 10^6 - 233.3 = 9.3997667 \times 10^6 \, Дж\)

Ответ: Работа, выполненная идеальным одноатомным газом во время изобарного нагрева, составляет 233.3 Дж. Внутренняя энергия газа изменяется на 9.3997667 МДж.

3. Задача: Какое количество теплоты было передано идеальному одноатомному газу, который сначала был нагрет при постоянном давлении до объема, вдвое превышающего начальный, а затем при постоянном объеме повысили давление до 0.5 МПа? Известно, что начальный объем газа составлял 1 м³, а давление

Решение: Для решения этой задачи воспользуемся законом Гей-Люссака, который гласит, что для идеального газа, поддержанного при постоянном объеме, отношение изменения показателя давления к показателю начального давления равно отношению изменения абсолютной температуры к начальной абсолютной температуре:

\(\frac{{P_2 - P_1}}{{P_1}} = \frac{{T_2 - T_1}}{{T_1}}\)

Первый этап: газ нагревается при постоянном давлении до двойного объема. Обозначим новый объем как \(V_2 = 2V_1\). Тогда отношение температур можно записать так:

\(\frac{{T_2 - T_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2 - V_1}}{{V_1}}\)

\(\frac{{T_2 - T_1}}{{T_1}} = \frac{{2V_1 - V_1}}{{V_1}}\)

\(\frac{{T_2 - T_1}}{{T_1}} = 1\)

Значит, \(\Delta T = T_2 - T_1 = T_1\)

Второй этап: Газ подвергается повышению давления до 0.5 МПа. Обозначим новое давление как \(P_2\). Так как газ находится при постоянном объеме, то для нахождения нового давления мы можем использовать закон Гей-Люссака:

\(\frac{{P_2 - P_1}}{{P_1}} = \frac{{T_2 - T_1}}{{T_1}}\)

\(\frac{{P_2 - P_1}}{{P_1}} = \frac{{\Delta T}}{{T_1}} = 1\)

\(\frac{{P_2 - P_1}}{{P_1}} = 1\)

\(P_2 - P_1 = P_1\)

\(P_2 = 2P_1\)

Перейдем к вычислению количества переданной теплоты. Заметим, что задача не дает нам информацию о процессе переноса теплоты. Если предположить, что теплота передается без изменения внутренней энергии газа, то количество переданной теплоты будет равно изменению внутренней энергии газа. Значит, мы можем найти переданную теплоту, используя уравнение состояния идеального газа:

\(PV = nRT\)

Так как газ находится при постоянном давлении, мы можем записать:

\(P_1V_1 = nRT_1\)

\(P_2V_2 = nRT_2\)

Для нахождения количества переданной теплоты \(Q\) мы можем вычислить изменение внутренней энергии газа (\(\Delta U\)):

\(\Delta U = Q = nC_v\Delta T\)

где \(C_v\) - молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Тогда количество переданной теплоты можно записать следующим образом:

\(Q = nC_v\Delta T\)

Подставим известные значения:

\(Q = 3 \times \Delta T \times 8.314 \times 300\)

\(Q = 3 \times 300 \times 8.314 \approx 7463 \, Дж\)

Ответ: Количество теплоты, переданной идеальному одноатомному газу, составляет примерно 7463 Дж.