1) Напишите уравнение касательной к кривой, которая является графиком функции y=5-12корень из 3x+3, в точке

Барон

25

Хорошо, давайте решим задачу по очереди.

1) Нам дана функция: \(y = 5 - 12\sqrt{3x+3}\) и точка с x-координатой \(x_0 = \frac{1}{3}\).

Для того, чтобы найти уравнение касательной к кривой в заданной точке, нам понадобятся две вещи: значение функции в точке \(x_0\) и значение производной функции в этой же точке.

1.1) Значение функции в точке \(x_0 = \frac{1}{3}\):
Подставим \(x_0\) в выражение для y и найдем значение: \(y_0 = 5 - 12\sqrt{3\cdot\frac{1}{3}+3} = 5 - 12\sqrt{1+3} = 5 - 12\sqrt{4} = 5 - 12\cdot2 = 5 - 24 = -19\).

Таким образом, мы получили, что \(y_0 = -1\).

1.2) Теперь, найдем значение производной функции в точке \(x_0 = \frac{1}{3}\).
Для этого найдем производную функции \(y = 5 - 12\sqrt{3x+3}\), используя правило дифференцирования сложной функции:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -12 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(\sqrt{3x+3})
\]

Для нахождения производной сложной функции, нам понадобится использовать правило цепочки (chain rule).

Правило цепочки утверждает, что если у нас есть функция \(f(u)\), зависящая от функции \(u(x)\), то производная этой функции будет равна произведению производной функции \(f\) по \(u\) и производной функции \(u\) по \(x\):

\[
\frac{{df}}{{dx}} = \frac{{df}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}
\]

Для нашего случая, функция \(f(u) = \sqrt{u}\) и функция \(u(x) = 3x+3\). Найдем производные этих функций:

\[
\frac{{df}}{{du}} = \frac{1}{{2\sqrt{u}}}
\]

\[
\frac{{du}}{{dx}} = 3
\]

Теперь, найдем производную функции \(y\) по \(x\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -12 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(\sqrt{3x+3}) = -12 \cdot \frac{{df}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} = -12 \cdot \frac{1}{{2\sqrt{3x+3}}} \cdot 3 = -6 \cdot \frac{1}{{\sqrt{3x+3}}}
\]

Теперь, нам нужно найти значение этой производной в точке \(x_0 = \frac{1}{3}\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}}\bigg|_{x=\frac{1}{3}} = -6 \cdot \frac{1}{{\sqrt{3\cdot\frac{1}{3}+3}}} = -6 \cdot \frac{1}{{\sqrt{1+3}}} = -6 \cdot \frac{1}{{\sqrt{4}}} = -6 \cdot \frac{1}{2} = -3
\]

Таким образом, мы получили, что \(\frac{{dy}}{{dx}}\bigg|_{x=\frac{1}{3}} = -3\).

1.3) Теперь мы можем использовать найденные значения, чтобы составить уравнение касательной.

Общее уравнение касательной к кривой имеет вид \(y - y_0 = m \cdot (x - x_0)\), где \(m\) - это значение производной функции в точке \(x_0\).

Подставим значения:

\(y - (-1) = -3 \cdot (x - \frac{1}{3})\)

\(y + 1 = -3x + 1\)

\(y = -3x\)

Таким образом, уравнение касательной к кривой в точке \((\frac{1}{3}, -1)\) это \(y = -3x\).

2) Теперь решим вторую задачу.

Нам дана функция \(y = -10x - \frac{9}{2}(x+1)\) и точка с x-координатой \(x_0 = -\frac{5}{4}\).

2.1) Значение функции в точке \(x_0 = -\frac{5}{4}\):

Подставим \(x_0\) в выражение для \(y\) и найдем значение:

\(y_0 = -10 \cdot (-\frac{5}{4}) - \frac{9}{2}(-\frac{5}{4}+1) = -10 \cdot (-\frac{5}{4}) - \frac{9}{2}(-\frac{1}{4}) = \frac{50}{4} - \frac{9}{2}(-\frac{1}{2}) = \frac{50}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{50}{4} - \frac{9}{4} = \frac{50-9}{4} = \frac{41}{4}\).

Таким образом, мы получили, что \(y_0 = \frac{41}{4}\).

2.2) Теперь найдем значение производной функции в точке \(x_0 = -\frac{5}{4}\).

Для этого найдем производную функции \(y = -10x - \frac{9}{2}(x+1)\).

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -10 - \frac{9}{2}
\]

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -10 - \frac{9}{2} = -10 - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} = -10 - \frac{18}{2} = -10 - 9 = -19
\]

Таким образом, мы получили, что \(\frac{{dy}}{{dx}} = -19\).

2.3) Теперь мы можем использовать найденные значения, чтобы составить уравнение касательной.

Подставим значения:

\(y - \frac{41}{4} = -19 \cdot (x - (-\frac{5}{4}))\)

\(y - \frac{41}{4} = -19 \cdot (x + \frac{5}{4})\)

\(y - \frac{41}{4} = -19x - \frac{95}{4}\)

\(y = -19x - \frac{95}{4} + \frac{41}{4}\)

\(y = -19x - \frac{54}{4}\)

\(y = -19x - \frac{27}{2}\)

Таким образом, уравнение касательной к функции в точке \(-\frac{5}{4}\) это \(y = -19x - \frac{27}{2}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что решение содержит подробные шаги и обоснования каждого шага, чтобы все было понятно для школьников. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!