1. Насколько увеличится заряд небольшого проводящего шарика, если он соприкоснется с аналогичным шариком, заряд

Petrovich

4

Решение:
1. Для решения этой задачи мы можем использовать закон Кулона, который утверждает, что сила взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна произведению их величин и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для расчета силы взаимодействия между двумя зарядами имеет вид:

\[F = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}}\],

где F - сила взаимодействия, k - постоянная Кулона (\(k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q_1\) и \(q_2\) - заряды двух шариков, и \(r\) - расстояние между ними.

Когда два проводящих шарика соприкасаются, происходит перераспределение зарядов, таким образом, общая сумма зарядов остается неизменной. Если у нас есть шарик с начальным зарядом \(q_1\) и шарик с начальным зарядом \(q_2\), то после их соприкосновения мы можем сказать, что их общий заряд будет равен \(q_1 + q_2\).

Таким образом, в данном случае заряд первого шарика равен 15 мкКл (микрокулонам).

Ответ: Заряд небольшого проводящего шарика увеличится на 15 мкКл после соприкосновения с аналогичным шариком.

2. Для решения этой задачи, мы также будем использовать закон Кулона. Однако, для учета диэлектрической проницаемости среды, нам нужно ввести понятие электрической постоянной (\(\varepsilon\)).

Формула для расчета силы взаимодействия двух зарядов в среде с диэлектрической проницаемостью:

\[F = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{\varepsilon \cdot r^2}}\],

где \(\varepsilon\) - диэлектрическая проницаемость среды (в данном случае равна 2,5).

Теперь мы можем рассмотреть, как изменится сила, если каждый из зарядов уменьшен вдвое. Обозначим первоначальные заряды как \(q_1\) и \(q_2\), а после уменьшения вдвое - как \(q_1"\) и \(q_2"\).

Согласно нашим условиям, \(q_1" = \frac{{q_1}}{2}\) и \(q_2" = \frac{{q_2}}{2}\).

Сила взаимодействия между уменьшенными зарядами будет:

\[F" = \frac{{k \cdot |q_1" \cdot q_2"|}}{{\varepsilon \cdot r^2}} = \frac{{k \cdot \left|\frac{{q_1}}{2} \cdot \frac{{q_2}}{2}\right|}}{{2,5 \cdot r^2}} = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{2,5 \cdot 4 \cdot r^2}}\].

Теперь мы можем найти отношение силы до и после уменьшения зарядов:

\[\frac{{F"}}{{F}} = \frac{{\frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{2,5 \cdot 4 \cdot r^2}}}}{{\frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}}}} = \frac{1}{{2,5 \cdot 4}} = \frac{1}{10}\].

Ответ: Сила взаимодействия двух зарядов уменьшится в 10 раз при уменьшении каждого заряда вдвое и перемещении из вакуума в среду с диэлектрической проницаемостью \(e = 2,5\).

3. Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для расчета кинетической энергии:

\[E_k = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\],

где \(E_k\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса заряда, \(v\) - скорость заряда.

Масса заряда (\(m\)) можно найти, используя формулу:

\[m = \frac{q}{e}\],

где \(q\) - заряд, \(e\) - элементарный заряд (\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}\)).

В данном случае заряд (\(q\)) равен 1,41 кл (кулонам).

Скорость заряда (\(v\)) можно найти с использованием формулы движения с постоянным ускорением:

\[v = \sqrt{{2 \cdot a \cdot s}}\],

где \(a\) - ускорение заряда и \(s\) - путь, пройденный зарядом.

Для нахождения ускорения (\(a\)) мы можем использовать второй закон Ньютона, примененный к заряду:

\[F = m \cdot a\].

Сила (\(F\)) может быть выражена через разность потенциалов (\(U\)) и заряд (\(q\)) следующим образом:

\[F = q \cdot U\].

Таким образом, ускорение (\(a\)) будет:

\[a = \frac{{q \cdot U}}{m}\].

Подставляя найденные значения в формулу для \(v\), получим:

\[v = \sqrt{{2 \cdot \left(\frac{{q \cdot U}}{{m}}\right) \cdot s}} = \sqrt{{2 \cdot \left(\frac{{1,41 \cdot 500}}{{\frac{{1,41}}{{1,6 \cdot 10^{-19}}}}}\right) \cdot s}} = \sqrt{{2 \cdot \left(\frac{{500}}{{1,6 \cdot 10^{-19}}}\right) \cdot s}}\].

Подставляя значение элементарного заряда, получим:

\[v = \sqrt{{2 \cdot \left(\frac{{500}}{{1,6 \cdot 10^{-19}}}\right) \cdot s}} = \sqrt{{2 \cdot (312,5 \cdot 10^{19}) \cdot s}}\].

Теперь мы можем рассчитать кинетическую энергию (\(E_k\)):

\[E_k = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{q}{e}\right) \cdot \left(\sqrt{{2 \cdot (312,5 \cdot 10^{19}) \cdot s}}\right)^2\].

Упрощая выражение, получим:

\[E_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{q}{e} \cdot (2 \cdot (312,5 \cdot 10^{19}) \cdot s) = q \cdot (312,5 \cdot 10^{19}) \cdot s\].

Подставляя значения заряда и разности потенциалов, получим:

\[E_k = 1,41 \cdot (312,5 \cdot 10^{19}) \cdot 500\].

Ответ: Кинетическая энергия заряда 1,41 кл после начала движения из состояния покоя и приобретения разности потенциалов 500 В составляет \(1,41 \cdot (312,5 \cdot 10^{19}) \cdot 500\) джоулей.

4. Емкость конденсатора (C) в данном случае определяется по формуле:

\[C = \frac{{\varepsilon \cdot S}}{{d}}\],

где \(\varepsilon\) - диэлектрическая проницаемость среды, \(S\) - площадь пластин конденсатора и \(d\) - расстояние между пластинами.

Когда радиус пластин конденсатора удваивается, площадь пластин (S) увеличивается в 4 раза (\(S" = 4S\)).

Таким образом, новая емкость (C") будет:

\[C" = \frac{{\varepsilon \cdot S"}}{{d}} = \frac{{\varepsilon \cdot (4S)}}{{d}} = 4 \cdot \left(\frac{{\varepsilon \cdot S}}{{d}}\right) = 4C\].

Ответ: Емкость плоского конденсатора увеличится в 4 раза при удвоении радиуса, состоящего из двух круглых пластин.