1. Найди область определения функции y = 27x - x^3: d(f) = ( ; ). 2. Какую симметрию имеет заданная функция? Выбери

Максимовна

50

1. Чтобы найти область определения функции \(y = 27x - x^3\), необходимо определить все значения \(x\), при которых функция имеет смысл. Она может быть определена для всех действительных чисел \(x\), так как не содержит никаких ограничений на \(x\) в выражении. Таким образом, область определения функции \(y = 27x - x^3\) можно записать как \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).

2. Чтобы определить, какую симметрию имеет функция, можно проанализировать ее график или использовать свойства функций. Данная функция \(y = 27x - x^3\) является нечетной. Это означает, что она симметрична относительно начала координат. Если заменить \(x\) на \(-x\), то функция примет вид \(-y = -27x - (-x)^3\), что эквивалентно \(y = -27x + x^3\). Из этого следует, что \(f(-x) = -f(x)\). Таким образом, функция \(y = 27x - x^3\) имеет нечетную симметрию.

3. Для записи первой производной данной функции \(y = 27x - x^3\), необходимо продифференцировать ее по переменной \(x\). Первая производная функции представляет собой скорость изменения функции в каждой точке графика. Производная функции \(y = 27x - x^3\) равна \(\frac{dy}{dx} = 27 - 3x^2\).

4. Чтобы найти стационарные точки функции, необходимо решить уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\). Подставляя производную \(\frac{dy}{dx} = 27 - 3x^2\) равную нулю, получаем уравнение \(27 - 3x^2 = 0\). Решая это уравнение, найдем две стационарные точки: \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\).

5. Чтобы определить точки экстремума, необходимо проанализировать значения функции в стационарных точках. Подставляя значения \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\) в функцию \(y = 27x - x^3\), получаем соответственно \(y_1 = -186\) и \(y_2 = 186\). Таким образом, точки экстремума функции: \(xmin = -3\), \(ymin = -186\), \(xmax = 3\), \(ymax = 186\).

6. Чтобы найти промежутки монотонности функции \(y = 27x - x^3\), необходимо проанализировать знак первой производной \(\frac{dy}{dx} = 27 - 3x^2\) на разных интервалах. Если \(\frac{dy}{dx} > 0\), то функция возрастает, если \(\frac{dy}{dx} < 0\), то функция убывает.

Решим неравенство \(\frac{dy}{dx} > 0\), где \(\frac{dy}{dx} = 27 - 3x^2\). Получаем неравенство \(27 - 3x^2 > 0\). Решая это неравенство, найдем интервалы возрастания функции: \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\).

Решим неравенство \(\frac{dy}{dx} < 0\), где \(\frac{dy}{dx} = 27 - 3x^2\). Получаем неравенство \(27 - 3x^2 < 0\). Решая это неравенство, найдем интервалы убывания функции: \(x \in (-3; 3)\).

Таким образом, промежутки монотонности функции \(y = 27x - x^3\) можно записать как: функция возрастает на интервале \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\). Функция убывает на интервале \(x \in (-3; 3)\).

7. Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, необходимо приравнять функцию \(y = 27x - x^3\) к нулю и решить соответствующие уравнения.

При \(y = 0\), получаем уравнение \(27x - x^3 = 0\). Решая это уравнение, найдем точки пересечения графика с осью \(x\): \(x = 0\), \(x = -3\), \(x = 3\).

Таким образом, точки пересечения графика функции с осями координат: \(x = 0\) (ось \(x\)), \(x = -3\) (ось \(x\)), \(x = 3\) (ось \(x\)).