1. Найдите длину гипотенузы СК прямоугольного треугольника СОК, если известно, что угол С равен 30°, угол О равен

Ogon

22

Перейдем к решению поставленных задач шаг за шагом:

1. Для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника можно воспользоваться теоремой Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Дано: угол С = 30°, угол О = 90°, длина катета ОК = 7,6 см.

Нам известно, что угол О равен 90°, а значит, катет ОК является одним из катетов прямоугольного треугольника. Длина катета ОК составляет 7,6 см.

Для нахождения длины гипотенузы применим формулу теоремы Пифагора:

\[
СК^2 = ОК^2 + СО^2
\]

Подставим значения:

\[
СК^2 = 7,6^2 + СО^2
\]

Также известно, что угол С равен 30°, а угол О равен 90°, а значит, треугольник СОК является прямоугольным треугольником.

Теперь найдем длину катета СО с помощью тригонометрических соотношений. Так как у нас есть значение угла С и длина катета ОК, мы можем использовать соотношение тангенса.

\[
\tan С = \frac{{СО}}{{ОК}}
\]

Подставим значения:

\[
\tan 30° = \frac{{СО}}{{7,6}}
\]

Выразим СО:

\[
СО = 7,6 \cdot \tan 30°
\]

Вычислим значение тангенса 30°:

\[
\tan 30° = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}
\]

\[
СО = 7,6 \cdot \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}
\]

Продолжим вычисления:

\[
СК^2 = 7,6^2 + \left(7,6 \cdot \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\right)^2
\]

\[
СК^2 = 57,76 + \frac{{57,76}}{{3}}
\]

\[
СК^2 = \frac{{57,76 \cdot 3 + 57,76}}{{3}}
\]

\[
СК^2 = \frac{{3 \cdot 57,76 + 57,76}}{{3}}
\]

\[
СК^2 = \frac{{3 \cdot 57,76}}{{3}} + \frac{{57,76}}{{3}}
\]

\[
СК^2 = 57,76 + 19,25 = 77,01
\]

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

\[
СК = \sqrt{77,01} \approx 8,77 \, \text{см}
\]

Таким образом, длина гипотенузы СК прямоугольного треугольника СОК составляет примерно 8,77 см.

2. Для нахождения основания равнобедренного треугольника можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат длины боковой стороны равен сумме квадратов длин остальных двух сторон минус дважды произведение этих сторон на косинус угла между ними. Дано: угол при вершине равен 120°, высота, проведенная к боковой стороне, составляет 5 см.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно а, а его боковая сторона равна b. Тогда согласно теореме косинусов:

\[
b^2 = a^2 + 5^2 - 2 \cdot a \cdot 5 \cdot \cos 120°
\]

Косинус 120° равен -0,5. Подставим значения:

\[
b^2 = a^2 + 25 - 10a \cdot (-0,5)
\]

\[
b^2 = a^2 + 25 + 5a
\]

Так как треугольник равнобедренный, то a и b равны между собой, поэтому заменим a на b:

\[
b^2 = b^2 + 25 + 5b
\]

Выразим b:

\[
0 = 25 + 5b
\]

\[
-5b = 25
\]

\[
b = \frac{{25}}{{-5}} = -5
\]

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно -5 см. Отрицательный результат означает, что такого треугольника не существует, так как длины сторон не могут быть отрицательными.

3. Для нахождения длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике, зная один из углов и сумму гипотенузы и меньшего катета, мы можем воспользоваться следующими формулами:

\[
\sin \theta = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

\[
\cos \theta = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

\[
\text{{гипотенуза}} = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\cos \theta}}
\]

В данном случае у нас известен угол, равный 60°, а также сумма гипотенузы и меньшего катета. Пусть меньший катет равен а, гипотенуза равна b, и сумма гипотенузы и меньшего катета равна s. Тогда у нас есть следующие уравнения:

\[
\sin 60° = \frac{{a}}{{b}}
\]

\[
\cos 60° = \frac{{s - a}}{{b}}
\]

Переформулируем эти уравнения следующим образом:

\[
b = \frac{{a}}{{\sin 60°}}
\]

\[
b = \frac{{s - a}}{{\cos 60°}}
\]

Поскольку оба уравнения равны b, мы можем приравнять их друг к другу:

\[
\frac{{a}}{{\sin 60°}} = \frac{{s - a}}{{\cos 60°}}
\]

Чтобы решить это уравнение, мы должны знать значение s - суммы гипотенузы и меньшего катета. Пожалуйста, укажите это значение, и я смогу рассчитать длину гипотенузы.