Какова разница в размере между диаметром оцилиндрованного бревна, используемого для строительства дома, и его длиной

Stepan

17

Чтобы определить разницу в размере между диаметром и длиной оцилиндрованного бревна, нужно использовать формулы для объема и поверхностной площади цилиндра.

Давайте начнем с формулы для объема цилиндра:

\[V = \pi r^2 h\]

где \(V\) - объем цилиндра, \(\pi\) - математическая константа примерно равная 3.14, \(r\) - радиус диаметра бревна, \(h\) - высота бревна.

В нашем случае объем бревна составляет 188, поэтому у нас есть:

\[188 = \pi r^2h\]

Теперь рассмотрим формулу для поверхностной площади цилиндра:

\[S = 2\pi rh + \pi r^2\]

где \(S\) - поверхностная площадь цилиндра.

Мы знаем, что радиус цилиндра равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{d}{2}\), где \(d\) - диаметр бревна.

Также по условию задачи известно, что диаметр бревна больше его длины, то есть \(d > h\).

Теперь мы можем приравнять объем и выразить радиус через объем:

\[188 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h\]

\[188 = \pi \frac{d^2}{4} h\]

\[752 = \pi d^2 h\]

Далее, заметим, что площадь основания цилиндра, равная \(\pi r^2\), также равна площади боковой поверхности цилиндра, равной \(2\pi rh\). То есть:

\[\pi r^2 = 2\pi rh\]

\[\frac{r}{h} = \frac{2}{1}\]

\[r = 2h\]

Теперь мы можем заменить \(r\) в уравнении поверхностной площади и получить уравнение только с неизвестными \(d\) и \(h\):

\[S = 2\pi rh + \pi r^2\]

\[S = 2\pi (2h)h + \pi (2h)^2\]

\[S = 4\pi h^2 + 4\pi h^2\]

\[S = 8\pi h^2\]

Мы получили, что поверхностная площадь цилиндра равна \(8\pi h^2\).

Теперь вспомним условие задачи, что объем бревна равен 188. Подставим это в формулу для объема и найдем значение \(h\):

\[188 = \pi d^2 h\]

\[h = \frac{188}{\pi d^2}\]

Теперь заменим \(h\) в уравнении для поверхностной площади:

\[S = 8\pi h^2\]

\[S = 8\pi \left(\frac{188}{\pi d^2}\right)^2\]

\[S = 8\pi \left(\frac{188^2}{\pi^2 d^4}\right)\]

\[S = \frac{8 \cdot 188^2}{\pi d^4}\]

Это соотношение связывает поверхностную площадь бревна с его диаметром. Таким образом, разница в размере между диаметром и длиной бревна будет определяться этим уравнением.