1. Найдите координаты вершины параболы для следующих уравнений: а) У = -х^2 - 4х + 5 б) У = 2х^2 - 4х - 6 в) У = 0,5х^2

Космическая_Чародейка

11

1. Начнем с нахождения координат вершины параболы для каждого из предоставленных уравнений:

а) Для уравнения \(У = -х^2 - 4х + 5\) коэффициент при \(х^2\) равен -1, при \(х\) равен -4, а свободный член равен 5. Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой \(x = -\frac{b}{2a}\). Подставим значения коэффициентов:

\[x = -\frac{-4}{2(-1)} = -\frac{-4}{-2} = 2\]

Теперь найдем значение \(У\) при \(х = 2\):

\[У = -2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = -4 - 8 + 5 = -7\]

Таким образом, координаты вершины параболы в уравнении (а) равны (2, -7).

б) Для уравнения \(У = 2х^2 - 4х - 6\) коэффициент при \(х^2\) равен 2, при \(х\) равен -4, а свободный член равен -6. Используя формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), найдем значение \(х\):

\[x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = -\frac{-4}{4} = 1\]

Теперь найдем значение \(У\) при \(х = 1\):

\[У = 2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 - 6 = 2 - 4 - 6 = -8\]

Координаты вершины параболы в уравнении (б) равны (1, -8).

в) Для уравнения \(У = 0,5х^2 + 3х + 2,5\) коэффициент при \(х^2\) равен 0,5, при \(х\) равен 3, а свободный член равен 2,5. Вычислим значение \(х\) с помощью формулы \(x = -\frac{b}{2a}\):

\[x = -\frac{3}{2 \cdot 0,5} = -\frac{3}{1} = -3\]

Найдем значение \(У\) при \(х = -3\):

\[У = 0,5 \cdot (-3)^2 + 3 \cdot (-3) + 2,5 = 0,5 \cdot 9 - 9 + 2,5 = 4,5 - 9 + 2,5 = -2\]

Таким образом, координаты вершины параболы в уравнении (в) равны (-3, -2).

г) Для уравнения \(У = -х^2 + 2х\) коэффициент при \(х^2\) равен -1, а при \(х\) равен 2. Поскольку отсутствует свободный член, вершина параболы будет находиться на оси \(У\). Для нахождения координаты \(x\) используем формулу \(x = -\frac{b}{2a}\):

\[x = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1\]

Таким образом, координаты вершины параболы в уравнении (г) равны (1, 1).

2. Теперь построим график квадратичной функции для каждого из предоставленных уравнений:

а) Для уравнения \(У = х^2 - 2х + 1\) координаты вершины параболы равны (1, 0). Так как коэффициент при \(х^2\) положительный, парабола будет направлена вверх. Можем также найти дополнительные точки, чтобы нарисовать график, выбрав несколько значений \(х\) и подставив их в уравнение. Возьмем \(х = 0\):

\[У = 0^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1\]

Теперь выберем другое значение \(х\), например, \(х = 2\):

\[У = 2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1\]

То есть мы получили две точки: (0, 1) и (2, 1). Соединив эти точки, получим график, который представляет собой параболу, расположенную вершиной в точке (1, 0) и направленную вверх.

б) Для уравнения \(У = -2х^2 + 3х - 4\) координаты вершины параболы равны \(\left(\frac{3}{4}, \frac{-25}{8}\right)\). Коэффициент при \(х^2\) отрицательный, поэтому парабола будет направлена вниз. Подставим несколько значений \(х\) для построения графика: \(х = 0\):

\[У = -2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 - 4 = -4\]

Выберем другое значение \(х\), например, \(х = 2\):

\[У = -2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 4 = -8 + 6 - 4 = -6\]

Таким образом, мы получили две точки: (0, -4) и (2, -6). Соединив эти точки, получим график параболы, которая имеет вершину в точке \(\left(\frac{3}{4}, \frac{-25}{8}\right)\) и направлена вниз.

в) Для уравнения \(У = 2х^2 + х + 4\) координаты вершины параболы равны \(\left(\frac{-1}{4}, \frac{17}{8}\right)\). Коэффициент при \(х^2\) положительный, поэтому парабола будет направлена вверх. Вычислим несколько точек: \(х = 0\):

\[У = 2 \cdot 0^2 + 0 + 4 = 4\]

Выберем другое значение \(х\), например, \(х = 2\):

\[У = 2 \cdot 2^2 + 2 + 4 = 8 + 2 + 4 = 14\]

Итак, мы получили две точки: (0, 4) и (2, 14). Соединив эти точки, получим график параболы, у которой вершина находится в точке \(\left(\frac{-1}{4}, \frac{17}{8}\right)\) и направлена вверх.

г) Для уравнения \(У = -х^2 + 3х\) координаты вершины параболы равны (1, 2). Коэффициент при \(х^2\) отрицательный, поэтому парабола будет направлена вниз. Вычислим значения \(У\) для \(х = 0\) и \(х = 2\):

\[У = -0^2 + 3 \cdot 0 = 0\]

\[У = -2^2 + 3 \cdot 2 = -4 + 6 = 2\]

Таким образом, у нас две точки: (0, 0) и (2, 2). Соединив их, получим график параболы, у которой вершина находится в точке (1, 2) и направлена вниз.

3. Заданное уравнение \(У = (2 - х)(х\)

\(У = (2 - х)(х)\) является произведением двух линейных множителей. Чтобы нарисовать график этой функции, необходимо разобрать все возможные случаи:

a) Если \(х = 2\), то \(У = (2- 2)(2) = 0\). Таким образом, у нас есть точка (2, 0).

b) Если \(х = 0\), то \(У = (2 - 0)(0) = 0\). Имеем точку (0, 0).

c) Если \(х < 0\), то оба множителя \((2 - х)\) и \(х\) отрицательны, что означает, что произведение будет положительным. Например, когда \(х = -1\), получаем \(У = (2 - (-1))(-1) = (2 + 1)(-1) = 3 \cdot (-1) = -3\). Получаем точку \((-1, -3)\).

d) Если \(х > 2\), то первый множитель \((2 - х)\) будет отрицательным, а второй множитель \(х\) положительным, что означает, что произведение будет отрицательным. Например, когда \(х = 3\), получаем \(У = (2 - 3)(3) = (-1) \cdot 3 = -3\). Получаем точку (3, -3).

Построив эти точки на графике, мы получим параболу, проходящую через эти точки и имеющую свойства, описанные выше.