1) Найдите производную функции: f(x)=5/x^3-2√x 2) Дано уравнение кривой: f(x)=(x+3)(x-8)/x a) Найдите производную

Мороженое_Вампир

14

Конечно! Давайте разберем эти задачи по порядку:

1) Найдите производную функции: \(f(x) = \frac{5}{x^3} - 2\sqrt{x}\)

Для нахождения производной функции, возьмем производные каждого отдельного слагаемого. Затем применим правила производной для каждого члена функции.

Найдем производную первого слагаемого: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{x^3}\right)\)

Используя правило производной функции \(f(x) = \frac{a}{x^n}\), получаем:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{x^3}\right) = -3 \cdot \frac{5}{x^4}\)

Теперь найдем производную второго слагаемого: \(\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x}\right)\)

Используя правило производной функции \(f(x) = a\sqrt{x}\), получаем:

\(\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\)

Объединяя результаты, получаем:

\(f"(x) = -3 \cdot \frac{5}{x^4} + \frac{1}{\sqrt{x}} = -\frac{15}{x^4} + \frac{1}{\sqrt{x}}\)

2) Дано уравнение кривой: \(f(x) = \frac{(x+3)(x-8)}{x}\)

a) Чтобы найти производную функции, необходимо применить правила производной для умножения и частного.

Раскроем скобки в числителе, оставив знаменатель \(x\) неизменным:

\(f(x) = \frac{x^2 - 5x - 24}{x}\)

Теперь применим правило производной для частного:

\(f"(x) = \frac{x(x \cdot 2 - (x^2 - 5x - 24)) - (x^2 - 5x - 24) \cdot 1}{x^2}\)

Упростим это выражение:

\(f"(x) = \frac{2x^2 - x^3 + 5x^2 - 5x^2 + 24x + x^2 - 5x - 24}{x^2}\)

\(f"(x) = \frac{-x^3 + 2x^2 + 24x - 5x}{x^2}\)

\(f"(x) = \frac{-x^3 + 2x^2 + 19x}{x^2}\)

b) Чтобы найти уравнение касательной к графику функции при \(x = 2\), мы должны использовать производную \(f"(x)\), найденную в пункте а).

Подставляем \(x = 2\) в \(f"(x)\):

\(f"(2) = \frac{-2^3 + 2 \cdot 2^2 + 19 \cdot 2}{2^2}\)

\(f"(2) = \frac{-8 + 8 + 38}{4}\)

\(f"(2) = \frac{38}{4}\)

\(f"(2) = 9.5\)

Теперь у нас есть значение производной функции в точке \(x = 2\). Используя эту информацию, мы можем составить уравнение касательной к графику функции \(f(x) = \frac{(x+3)(x-8)}{x}\) при \(x = 2\).

Используя формулу для уравнения касательной: \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где \((x_1, y_1)\) - точка на графике функции, при которой мы строим касательную, а \(m\) - значение производной в этой точке.

Подставляем значения:

\(y - f(2) = f"(2)(x - 2)\)

Так как \(f(2)\) - значение функции при \(x = 2\):

\(y - \frac{(2+3)(2-8)}{2} = 9.5(x - 2)\)

\(y + 15 = 9.5x - 19\)

\(y = 9.5x - 34\)

3) Найдите производную функции \(f(x) = 2\sin(\tan(3x + \pi))\).

При нахождении производной сложной функции, мы будем применять правило цепочки (chain rule) и последовательно находим производные каждой вложенной функции.

Найдем производную внутренней функции: \(\tan(3x + \pi)\)

\(\frac{d}{dx}(\tan(3x + \pi)) = \sec^2(3x + \pi) \cdot \frac{d}{dx}(3x + \pi)\)

Теперь найдем производную внешней функции: \(2\sin(\tan(3x + \pi))\)

\(\frac{d}{dx}(2\sin(\tan(3x + \pi))) = 2 \cdot \cos(\tan(3x + \pi)) \cdot \frac{d}{dx}(\tan(3x + \pi))\)

Теперь можем объединить результаты:

\(\frac{d}{dx}(2\sin(\tan(3x + \pi))) = 2 \cdot \cos(\tan(3x + \pi)) \cdot \sec^2(3x + \pi) \cdot \frac{d}{dx}(3x + \pi)\)

\(= 2 \cdot \cos(\tan(3x + \pi)) \cdot \sec^2(3x + \pi) \cdot 3\)

\(= 6\cos(\tan(3x + \pi)) \cdot \sec^2(3x + \pi)\)

Таким образом, производная функции \(f(x) = 2\sin(\tan(3x + \pi))\) равна \(6\cos(\tan(3x + \pi)) \cdot \sec^2(3x + \pi)\).