Упростите выражение (n - натуральное число): 7^(2n+1) + 7^(2n-1) / (100

Iskander

69

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Мы должны упростить следующее выражение:

\[ \frac{{7^{2n+1} + 7^{2n-1}}}{{100}} \]

Для начала, давайте разложим числитель на два слагаемых:

\[ 7^{2n+1} + 7^{2n-1} \]

Теперь рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: \(7^{2n+1}\)

Чтобы упростить это выражение, давайте вспомним свойство степеней, гласящее, что \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\). Применив это свойство к нашему выражению, получаем:

\[ 7^{2n+1} = 7^{2n} \cdot 7^1 \]

Теперь давайте разберем второе слагаемое: \(7^{2n-1}\)

Мы можем применить свойство степеней снова:

\[ 7^{2n-1} = 7^{2n} \cdot 7^{-1} \]

Теперь, когда мы разобрались с числителем, давайте рассмотрим знаменатель: 100.

Мы можем записать это как \(100 = 10^2\).

Теперь объединим все полученные выражения:

\[ \frac{{7^{2n} \cdot 7^1 + 7^{2n} \cdot 7^{-1}}}{{10^2}} \]

Мы можем заметить, что в числителе у нас есть общий множитель \(7^{2n}\), который мы можем выделить:

\[ 7^{2n} \cdot ( 7^1 + 7^{-1} ) \]

Теперь давайте упростим выражение в скобках.

Первое слагаемое \(7^1\) равно 7.

Второе слагаемое \(7^{-1}\) равно \(\frac{1}{7}\).

\[ 7^{2n} \cdot ( 7 + \frac{1}{7} ) \]

Упрощая полученное выражение, мы можем вычислить сумму в скобках:

\[ 7 + \frac{1}{7} = \frac{50}{7} \]

Теперь давайте подставим этот результат обратно в нашу формулу:

\[ 7^{2n} \cdot \frac{50}{7} \]

Теперь можно заметить, что числитель и знаменатель имеют общий множитель \(7^{2n}\), поэтому они сокращаются:

\[ \frac{{7^{2n} \cdot 50}}{{7}} \]

Итак, получаем окончательный ответ:

\[ 7^{2n} \cdot 50 \]

Это упрощенное выражение для исходного заданного выражения.