Упростите выражение (n - натуральное число): 7^(2n+1) + 7^(2n-1) / (100

Iskander

69

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Мы должны упростить следующее выражение:

$$\frac{7^{2n+1}+7^{2n-1}}{100}$$

Для начала, давайте разложим числитель на два слагаемых:

$$7^{2n+1}+7^{2n-1}$$

Теперь рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $7^{2n+1}$

Чтобы упростить это выражение, давайте вспомним свойство степеней, гласящее, что $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$. Применив это свойство к нашему выражению, получаем:

$$7^{2n+1}=7^{2n}\cdot 7^1$$

Теперь давайте разберем второе слагаемое: $7^{2n-1}$

Мы можем применить свойство степеней снова:

$$7^{2n-1}=7^{2n}\cdot 7^{-1}$$

Теперь, когда мы разобрались с числителем, давайте рассмотрим знаменатель: 100.

Мы можем записать это как $100={10}^2$.

Теперь объединим все полученные выражения:

$$\frac{7^{2n}\cdot 7^1+7^{2n}\cdot 7^{-1}}{{10}^2}$$

Мы можем заметить, что в числителе у нас есть общий множитель $7^{2n}$, который мы можем выделить:

$$7^{2n}\cdot (7^1+7^{-1})$$

Теперь давайте упростим выражение в скобках.

Первое слагаемое $7^1$ равно 7.

Второе слагаемое $7^{-1}$ равно $\frac{1}{7}$.

$$7^{2n}\cdot (7+\frac{1}{7})$$

Упрощая полученное выражение, мы можем вычислить сумму в скобках:

$$7+\frac{1}{7}=\frac{50}{7}$$

Теперь давайте подставим этот результат обратно в нашу формулу:

$$7^{2n}\cdot \frac{50}{7}$$

Теперь можно заметить, что числитель и знаменатель имеют общий множитель $7^{2n}$, поэтому они сокращаются:

$$\frac{7^{2n}\cdot 50}{7}$$

Итак, получаем окончательный ответ:

$$7^{2n}\cdot 50$$

Это упрощенное выражение для исходного заданного выражения.