1) Найдите разложение векторов DE→ и EF→ по векторам a→, b→ и c→ в задаче с кубом. Ответ округлите до сотых
1) Найдите разложение векторов DE→ и EF→ по векторам a→, b→ и c→ в задаче с кубом. Ответ округлите до сотых.
DE→ = ...a→ + ...b→ + ...c→;
EF→ = ...a→ + ...b→ + ...c→.
2) В параллелепипеде с тремя некомпланарными векторами a→, b→ и c→, которые выходят из одной вершины и проведены все диагонали, найдите разложения следующих векторов по этим векторам:
1. BD1−→−−= ...a→ + ...b→ + ...c→;
2. AO−→−= ...a→ + ...b→ + ...c→;
3. B1D1−→−−= ...a→ + ...b→ + ...c→.
DE→ = ...a→ + ...b→ + ...c→;
EF→ = ...a→ + ...b→ + ...c→.
2) В параллелепипеде с тремя некомпланарными векторами a→, b→ и c→, которые выходят из одной вершины и проведены все диагонали, найдите разложения следующих векторов по этим векторам:
1. BD1−→−−= ...a→ + ...b→ + ...c→;
2. AO−→−= ...a→ + ...b→ + ...c→;
3. B1D1−→−−= ...a→ + ...b→ + ...c→.
Загадочный_Замок 27
Хорошо, давайте решим эти задачи.1) Найдём разложение вектора DE→ по векторам a→, b→ и c→.
По заданию, векторы a→, b→ и c→ являются базисными векторами. Разложение вектора DE→ будет иметь вид:
DE→ = x * a→ + y * b→ + z * c→,
где x, y и z - коэффициенты, которые мы должны найти.
Чтобы найти эти коэффициенты, мы можем использовать систему уравнений, составленную из условий задачи.
Условие 1: DE→ параллельно плоскости, образованной векторами a→ и b→, поэтому его проекция на эту плоскость равна нулю. То есть:
DE→⋅(a→×b→) = 0,
где ⋅ обозначает скалярное произведение, а × - векторное произведение.
Условие 2: DE→ параллелен вектору c→, поэтому его проекция на вектор c→ равна нулю. То есть:
DE→⋅c→ = 0.
Теперь, подставим вектор DE→ в эти уравнения:
(x * a→ + y * b→ + z * c→)⋅(a→×b→) = 0,
(x * a→ + y * b→ + z * c→)⋅c→ = 0.
Развернем первое уравнение:
x * (a→⋅(a→×b→)) + y * (b→⋅(a→×b→)) + z * (c→⋅(a→×b→)) = 0.
Так как векторы a→, b→ и c→ являются линейно независимыми, то вектор a→×b→ будет нормали плоскости, образованной векторами a→ и b→. Поэтому a→×b→ и c→ будут линейно независимыми. Таким образом, имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z:
x * (a→⋅(a→×b→)) + y * (b→⋅(a→×b→)) + z * (c→⋅(a→×b→)) = 0,
(x * (a→⋅c→) + y * (b→⋅c→) + z * (c→⋅c→)) = 0.
Выразим x, y и z из этой системы уравнений. Полученные значения будут коэффициентами разложения вектора DE→.
2) Аналогичным образом, найдём разложение векторов BD1−→, AO−→ и B1D1−→ по векторам a→, b→ и c→.
Для разложения вектора BD1−→, мы можем использовать систему уравнений, составленную из условий задачи.
Условие 1: BD1−→ лежит в плоскости, образованной векторами a→, b→ и c→. То есть:
BD1−→ = x * a→ + y * b→ + z * c→.
Условие 2: BD1−→ параллелен вектору a→ + c→. То есть:
BD1−→ = u * (a→ + c→),
где u - некоторый коэффициент, который нам нужно найти.
Теперь, подставим вектор BD1−→ в эти уравнения:
(x * a→ + y * b→ + z * c→) = u * (a→ + c→).
Развернем это уравнение:
x * a→ + y * b→ + z * c→ = u * a→ + u * c→.
Сравнивая соответствующие компоненты слева и справа, получаем систему трех уравнений:
x = u,
y = 0,
z = u.
Таким образом, разложение вектора BD1−→ по векторам a→, b→ и c→ будет:
BD1−→ = u * a→ + 0 * b→ + u * c→.
Аналогично для разложений векторов AO−→ и B1D1−→ получим:
2. AO−→ = x * a→ + y * b→ + z * c→,
3. B1D1−→ = x * a→ + y * b→ + z * c→.
В каждом из этих случаев коэффициенты разложения будут зависеть от результатов решения соответствующей системы уравнений.
Помните округлить ответ до сотых, чтобы он был более точным.