1. Найдите угол между векторами ОМ и ОН в равнобедренной трапеции ОАСВ. 2. Найдите уравнение прямой и длину
1. Найдите угол между векторами ОМ и ОН в равнобедренной трапеции ОАСВ.
2. Найдите уравнение прямой и длину образовавшейся хорды, проведенной через фокус параболы у* = -4х и образующей угол 120° с осью ОХ.
3. Найдите точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, у которого вершины находятся в точках А(-4; 2), В(2; -5), С(5; 0).
4. Найдите уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, проходящего через точку М(-4; 21) и имеющего эксцентриситет ε = 3/4.
2. Найдите уравнение прямой и длину образовавшейся хорды, проведенной через фокус параболы у* = -4х и образующей угол 120° с осью ОХ.
3. Найдите точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, у которого вершины находятся в точках А(-4; 2), В(2; -5), С(5; 0).
4. Найдите уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, проходящего через точку М(-4; 21) и имеющего эксцентриситет ε = 3/4.
Фея 17
1. Для нахождения угла между векторами ОМ и ОН в равнобедренной трапеции ОАСВ, нам потребуется использовать свойства треугольника и векторов.Для начала, давайте найдем векторы ОМ и ОН. Вектор ОМ представляет собой разность координат конечной точки М и начальной точки О, аналогично для вектора ОН.
Вектор ОМ:
\(\vec{OM} = \vec{М} - \vec{О} = (x_М - x_О, y_М - y_О)\)
Вектор ОН:
\(\vec{ОН} = \vec{Н} - \vec{О} = (x_Н - x_О, y_Н - y_О)\)
2. Для нахождения уравнения прямой и длины образовавшейся хорды, проведенной через фокус параболы \(у^* = -4х\) и образующей угол 120° с осью ОХ, воспользуемся уравнением прямой в отрезках, используя границу наклона и формулу для нахождения длины хорды.
Уравнение прямой:
Уравнение прямой, проходящей через фокус параболы и образующей угол 120° с осью ОХ:
- Для параболы \(у^* = -4х\), фокус Ф находится в начале координат (0, 0).
- Угол 120° между прямой и осью ОХ подразумевает угол между осью ОХ и касательной, проведенной к параболе в точке контакта.
- Касательная к параболе в точке (х₀, у₀) имеет границу наклона -4х₀.
3. Для нахождения точки пересечения медиан и точки пересечения высот треугольника, воспользуемся свойствами медиан и высот треугольника.
Медианы:
- Медианы треугольника - это отрезки, соединяющие каждую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
- Точка пересечения медиан треугольника называется центром тяжести.
- Чтобы найти точку пересечения медиан, найдем средние значения координат вершин треугольника и используем их для построения точки.
Высоты:
- Высоты треугольника - это отрезки, соединяющие вершины треугольника с противоположными сторонами, перпендикулярными этим сторонам.
- Точка пересечения высот называется ортоцентром.
- Чтобы найти точку пересечения высот, нам понадобятся уравнения прямых, содержащих стороны треугольника, а именно уравнения прямых, перпендикулярных этим сторонам и проходящих через соответствующие вершины.
4. Для нахождения уравнения эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, проходящего через точку М(-4; 21) и имеющего эксцентриситет ε, мы будем использовать стандартное уравнение эллипса и свойства симметрии.
Уравнение эллипса:
Стандартное уравнение эллипса с фокусами на оси ОХ и центром в начале координат (0, 0):
\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a\) и \(b\) - полуоси эллипса.
Симметрия относительно осей координат:
- Если эллипс симметричен относительно оси ОХ, то фокусы будут иметь координаты (±c, 0).
- Точка М(-4; 21) находится на эллипсе, поэтому расстояние от М до каждого из фокусов будет одинаковым и равно эксцентриситету эллипса ε.
Используя эти свойства и информацию о точке М, мы сможем определить коэффициенты и уравнение эллипса.