1. Найдите значения угла х в градусах, удовлетворяющие уравнению sinx⋅tgx−( √3/3)sinx=0 (Угол из IV квадранта пишем

Александр

32

Решим поставленные задачи по очереди.

1. Найдем значения угла \(x\) в градусах, удовлетворяющие уравнению \(\sin x \cdot \tan x - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \sin x = 0\).

Разложим тангенс через синус и косинус: \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\).

Подставляя это выражение в уравнение, получим: \(\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \sin x = 0\).

Учитывая, что \(\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x\), преобразуем уравнение: \(\sin^2 x - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \sin x = 0\).

Факторизуем левую часть уравнения и вынесем общий множитель: \(\sin x (\sin x - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 0\).

Таким образом, получаем два возможных значения для \(\sin x\):

1) \(\sin x = 0\) или

2) \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

1) Когда \(\sin x = 0\), угол \(x\) может быть кратен \(\pi\), то есть \(x = n\pi\), где \(n\) - целое число.

2) Когда \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3}\), найдем соответствующие значения угла \(x\) с помощью обратной функции синуса: \(x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\).

В качестве ответа получим два класса эквивалентности значений угла \(x\):

1) \(x = n\pi\), где \(n\) - целое число;

2) \(x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\) + \(2\pi\cdot n\) и \(x = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\) + \(2\pi\cdot n\), где \(n\) - целое число.

2. Теперь решим уравнение \(5\cos^2 x + 14\cos x - 3 = 0\).

Для удобства заметим, что это квадратное уравнение относительно \(\cos x\).

Решим его с помощью квадратного трехчлена.

Дискриминант квадратного уравнения равен: \(D = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256\).

Так как дискриминант положительный, имеем два корня \(\cos_1\) и \(\cos_2\):

\(\cos_1 = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-14 + 16}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\)

\(\cos_2 = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-14 - 16}{10} = \frac{-30}{10} = -3\).

Получили два значения \(\cos x\), и теперь найдем соответствующие значения угла \(x\) с помощью обратной функции косинуса: \(x_1 = \arccos\left(\frac{1}{5}\right)\) и \(x_2 = \arccos(-3)\).

В качестве ответа получаем два значения угла \(x\):

\(x_1 = \arccos\left(\frac{1}{5}\right)\) и \(x_2 = \arccos(-3)\).