Как будет изменяться детерминант, если отнять от первой строки третью строку, умноженную на три?

Vesenniy_Dozhd

46

Чтобы решить эту задачу, мы начнем с предположения, что у нас есть матрица \(A\) размером \(n \times n\) и ее детерминант обозначается как \(\det(A)\). Пусть \(A\) выглядит следующим образом:

\[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь мы вычтем из первой строки третью строку, умноженную на три. Для этого нам нужно создать новую матрицу \(B\) такую, что ее элементы указывают изменения:

\[
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -3 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь, чтобы понять, как изменится детерминант первоначальной матрицы \(A\), воспользуемся свойствами детерминанта. Одно из таких свойств гласит, что если мы добавим к одной строке матрицы линейную комбинацию других строк, то детерминант не изменится. В нашем случае мы отняли от первой строки третью, умноженную на три, что является линейной комбинацией. Поэтому детерминант матрицы \(A\) не изменится, и мы можем записать следующее:

\[
\det(B \cdot A) = \det(A)
\]

Теперь мы умножим матрицу \(B\) на матрицу \(A\):

\[
B \cdot A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -3 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}
\]

Выполнив умножение матриц, получим:

\[
B \cdot A = \begin{bmatrix}
a_{11}-3a_{31} & a_{12}-3a_{32} & \dots & a_{1n}-3a_{3n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}
\]

Как можно видеть, первая строка матрицы \(A\) изменилась, в результате от нее была отнята третья строка, умноженная на три. Остальные строки матрицы \(A\) остались без изменений.

Таким образом, мы можем заключить, что детерминант матрицы \(A\) не изменится, если от первой строки \(A\) отнять третью строку, умноженную на три.