1. Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 32 и знаменатель равен

Магнит

65

Хорошо, давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 32 и знаменатель равен -2.

Для начала, давайте найдем седьмой член этой геометрической прогрессии. Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - n-й член геометрической прогрессии, \(a_1\) - первый член геометрической прогрессии, \(q\) - знаменатель геометрической прогрессии.

В данном случае у нас \(a_1 = 32\) и \(q = -2\), поэтому чтобы найти седьмой член, подставим значения в формулу:

\[a_7 = 32 \cdot (-2)^{(7-1)}\]

\[a_7 = 32 \cdot (-2)^6\]

\[a_7 = 32 \cdot 64\]

\[a_7 = 2048\]

Теперь, чтобы найти сумму первых семи членов, воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{{a_1(q^n - 1)}}{{q - 1}}\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Подставим известные значения и найдем сумму первых семи членов:

\[S_7 = \frac{{32((-2)^7 - 1)}}{{-2 - 1}}\]

\[S_7 = \frac{{32(-128 - 1)}}{{-3}}\]

\[S_7 = \frac{{32(-129)}}{{-3}}\]

\[S_7 = \frac{{-4128}}{{-3}}\]

\[S_7 = 1376\]

Таким образом, сумма первых семи членов геометрической прогрессии равна 1376.

2. Геометрическая прогрессия задана формулой \(b_n = 3^n\). Найти сумму первых пяти членов.

Для данной геометрической прогрессии у нас первый член не задан явно, но мы можем найти его, подставив n = 1 в формулу:

\[b_1 = 3^1 = 3\]

Теперь, чтобы найти сумму первых пяти членов, воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{{a \cdot (q^n - 1)}}{{q - 1}}\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов геометрической прогрессии, \(a\) - первый член геометрической прогрессии, \(q\) - знаменатель геометрической прогрессии.

В данном случае у нас \(a = 3\) и \(q = 3\), поэтому можем подставить значения в формулу и найти сумму первых пяти членов:

\[S_5 = \frac{{3 \cdot (3^5 - 1)}}{{3 - 1}}\]

\[S_5 = \frac{{3 \cdot (243 - 1)}}{{2}}\]

\[S_5 = \frac{{3 \cdot (242)}}{{2}}\]

\[S_5 = \frac{{726}}{{2}}\]

\[S_5 = 363\]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 363.

3. Дополнительная задача. Каждое одноклеточное животное инфузория размножается путем деления на две части. Сколько инфузорий будет после шести делений, если изначально их было 1000?

Каждое деление одной инфузории дает две новых инфузории. После первого деления останется 2 инфузории (изначальная 1 инфузория разделилась на две). После второго деления будет 4 инфузории (каждая из предыдущих 2 инфузорий разделилась на две). Продолжая этот процесс, после шести делений будет:

\(2^6 = 64\) инфузории.

Таким образом, после шести делений изначально 1 инфузории получится 64 инфузории. Если изначально их было 1000, то после шести делений будет 1000 * 64 = 64000 инфузорий.