1. Обеспечивает ли данное правило функцию y = f(x), если: -x, x < 0, (x – 1, x < 1, 1) f(x) = 3-x, 0 < x < 2, 2) f(x

Zmeya

45

Здравствуйте! Давайте рассмотрим вашу задачу по шагам.

1. Первое условие задачи говорит нам о правиле, которое определяет функцию y = f(x). Давайте разберемся с этим пунктом:

- При x < 0, функция f(x) принимает значение -x.
- При 0 < x < 1, функция f(x) принимает значение x - 1.
- При 1 < x < 2, функция f(x) принимает значение 3 - x.
- При 2 < x < 5, функция f(x) принимает значение -4.
- При 1 < x < 4, функция f(x) принимает значение x + 1.

Теперь мы знаем, какие значения принимает функция f(x) в каждом из указанных интервалов.

2. Для начала рассмотрим первый пункт:

а) Область определения функции - это множество значений x, при которых функция f(x) определена. Она будет состоять из объединения всех интервалов, где функция определена. В данном случае область определения функции - это все x < 5, так как функция f(x) определена во всех указанных интервалах и не имеет ограничений вне этих интервалов.

б) Чтобы вычислить значения функции в указанных точках, подставим их в функцию f(x):

- f(-3) = -(-3) = 3
- f(2) = 3 - 2 = 1
- f(6) = -4

в) Построим график функции, чтобы наглядно представить значения функции и ее характер. Для этого построим график для каждого интервала отдельно:

- Для x < 0: график будет прямой линией с наклоном -1, проходящей через начало координат.
- Для 0 < x < 1: график будет прямой линией с наклоном 1 и смещением вниз на 1 единицу.
- Для 1 < x < 2: график будет прямой линией с наклоном -1 и смещением вверх на 2 единицы.
- Для 2 < x < 5: график будет горизонтальной прямой на уровне y = -4.
- Для 1 < x < 4: график будет прямой линией с наклоном 1 и смещением вверх на 1 единицу.

Полученные графики объединяются в один график, который покажет полный характер функции.

г) Определим интервалы монотонности функции. Для этого найдем значения производной функции f"(x) на каждом из указанных интервалов и изучим их знаки:

- Для x < 0: производная равна -1. Знак отрицательный. Функция убывает на этом интервале.
- Для 0 < x < 1: производная равна 1. Знак положительный. Функция возрастает на этом интервале.
- Для 1 < x < 2: производная равна -1. Знак отрицательный. Функция убывает на этом интервале.
- Для 2 < x < 5: производная равна 0. Функция является константой на этом интервале.
- Для 1 < x < 4: производная равна 1. Знак положительный. Функция возрастает на этом интервале.

Итак, интервалы монотонности функции:

- Функция убывает на интервале x < 0 и 1 < x < 2.
- Функция возрастает на интервале 0 < x < 1 и 1 < x < 4.
- Функция является константой на интервале 2 < x < 5.

Это подробное решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спросите!