1. Определите все пересечения графика функции y = 3x – x3 с касательной, которая проходит через точку P(0; 16

  • 6
1. Определите все пересечения графика функции y = 3x – x3 с касательной, которая проходит через точку P(0; 16).
2. Найдите минимальное расстояние между параболой y = x^2 + 2x + 10 и прямой.
Черешня
16
Задача 1:
Для решения этой задачи, нам нужно найти все точки пересечения графика функции y=3xx3 с касательной, которая проходит через точку P(0,16).

Для начала, найдем производную функции y=3xx3, чтобы найти уравнение касательной к графику функции в произвольной точке x0.
При нахождении производной, мы получим ее равной y"=33x2.

Теперь подставим значение x0 в уравнение производной и получим коэффициент наклона касательной в точке x0:
m=33x02

Затем, мы знаем, что касательная проходит через точку P(0,16), следовательно, у нее будут одинаковые координаты точки:
x0=0 и y0=16

Теперь мы можем использовать полученные значения для нахождения уравнения касательной:
yy0=m(xx0)
y16=(33(0)2)(x0)
y16=3x

Таким образом, уравнение касательной, проходящей через точку P(0,16), будет y=3x.

Теперь осталось найти точки пересечения графика функции y=3xx3 и касательной y=3x.

Чтобы найти эти точки, приравняем уравнение функции и уравнение касательной и решим полученное уравнение:
3xx3=3x

Располагая уравнение в таком виде, мы видим, что 3x учитывается с обеих сторон уранения и может быть сокращено. Также можем вынести x за скобку:
x3=0

Из этого уравнения мы видим, что x3=0 и, следовательно, x=0.

Таким образом, единственная точка пересечения графика функции и касательной находится при x=0.

Теперь, чтобы найти значение y для этой точки, подставим x=0 в уравнение функции:
y=3(0)(0)3=0

Таким образом, единственное пересечение графика функции y=3xx3 и касательной y=3x происходит в точке (0,0).

Задача 2:
Для решения этой задачи, нам нужно найти минимальное расстояние между параболой y=x2+2x+10 и прямой.

Для начала, нужно выразить параболу в виде общего уравнения параболы: ax2+bx+c. В этом случае a=1, b=2 и c=10.

Затем, рассмотрим общее уравнение прямой: y=mx+b, где m - это коэффициент наклона прямой, и b - это y-интерсепт (точка, в которой прямая пересекает ось y).

Располагая эту информацию, мы можем рассмотреть параболу и прямую и вычислить расстояние между ними. Однако, для нахождения точки минимального расстояния, мы используем производную.

Для этого, найдем производную параболы y=x2+2x+10:
y"=2x+2

Мы знаем, что расстояние между параболой и прямой будет минимальным, когда наклон касательной к параболе будет равен наклону прямой.

Следовательно, приравняем наклоны:

2x+2=m

Теперь, подставим это в оба уравнения параболы и прямой:

y=x2+2x+10

y=mx+b

Подставляем 2x+2 вместо m в уравнение параболы:

y=(2x+2)x+b
y=2x2+2x+b

Теперь мы получили систему уравнений с двумя неизвестными x и y:

{y=x2+2x+10y=2x2+2x+b

Мы можем решить эту систему с помощью метода подстановки или метода уравнения:

Из первого уравнения имеем x2+2x+(10y)=0.

Далее, мы можем подставить это второе уравнение:

y=2x2+2x+b

а затем подставить первое уравнение для x2+2x+(10y):

y=2(x2+2x+(10y))+b

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

y=2x2+4x+202y+b

Теперь, чтобы найти значение b, мы должны сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x и при y.

Здесь коэффициенты при x2 равны:
2x2=0x2

Здесь коэффициенты при x равны:
4x=2x

Здесь коэффициенты при y равны:
202y+b=0y

Таким образом, нам нужно решить систему уравнений:

{4x=2x202y+b=0

Первое уравнение дает нам x=0, а второе уравнение дает нам значение b=2y20.

Теперь, чтобы найти y, подставим x=0 в уравнение параболы:

y=02+2(0)+10=10

Подставляем y=10 в уравнение прямой для нахождения b:
10=2y20
2y=30
y=15

Теперь мы имеем x=0 и y=15.

Теперь, чтобы найти b, подставим y=15 в b=2y20:
b=2(15)20
b=10

Таким образом, мы нашли, что x=0, y=15 и b=10.

Теперь мы можем найти расстояние между параболой и прямой, используя формулу для расстояния между двумя точками:

d=(x2x1)2+(y2y1)2

Подставляем x1=0, y1=10, x2=0, y2=15 и вычисляем:

d=(00)2+(1510)2
d=0+25
d=25
d=5

Таким образом, минимальное расстояние между параболой y=x2+2x+10 и прямой составляет 5 единиц.