1. Определите все пересечения графика функции y = 3x – x3 с касательной, которая проходит через точку P(0; 16
1. Определите все пересечения графика функции y = 3x – x3 с касательной, которая проходит через точку P(0; 16).
2. Найдите минимальное расстояние между параболой y = x^2 + 2x + 10 и прямой.
2. Найдите минимальное расстояние между параболой y = x^2 + 2x + 10 и прямой.
Черешня 16
Задача 1:Для решения этой задачи, нам нужно найти все точки пересечения графика функции
Для начала, найдем производную функции
При нахождении производной, мы получим ее равной
Теперь подставим значение
Затем, мы знаем, что касательная проходит через точку
Теперь мы можем использовать полученные значения для нахождения уравнения касательной:
Таким образом, уравнение касательной, проходящей через точку
Теперь осталось найти точки пересечения графика функции
Чтобы найти эти точки, приравняем уравнение функции и уравнение касательной и решим полученное уравнение:
Располагая уравнение в таком виде, мы видим, что
Из этого уравнения мы видим, что
Таким образом, единственная точка пересечения графика функции и касательной находится при
Теперь, чтобы найти значение
Таким образом, единственное пересечение графика функции
Задача 2:
Для решения этой задачи, нам нужно найти минимальное расстояние между параболой
Для начала, нужно выразить параболу в виде общего уравнения параболы:
Затем, рассмотрим общее уравнение прямой:
Располагая эту информацию, мы можем рассмотреть параболу и прямую и вычислить расстояние между ними. Однако, для нахождения точки минимального расстояния, мы используем производную.
Для этого, найдем производную параболы
Мы знаем, что расстояние между параболой и прямой будет минимальным, когда наклон касательной к параболе будет равен наклону прямой.
Следовательно, приравняем наклоны:
Теперь, подставим это в оба уравнения параболы и прямой:
Подставляем
Теперь мы получили систему уравнений с двумя неизвестными
Мы можем решить эту систему с помощью метода подстановки или метода уравнения:
Из первого уравнения имеем
Далее, мы можем подставить это второе уравнение:
а затем подставить первое уравнение для
Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Теперь, чтобы найти значение
Здесь коэффициенты при
Здесь коэффициенты при
Здесь коэффициенты при
Таким образом, нам нужно решить систему уравнений:
Первое уравнение дает нам
Теперь, чтобы найти
Подставляем
Теперь мы имеем
Теперь, чтобы найти
Таким образом, мы нашли, что
Теперь мы можем найти расстояние между параболой и прямой, используя формулу для расстояния между двумя точками:
Подставляем
Таким образом, минимальное расстояние между параболой