1. Определите все пересечения графика функции y = 3x – x3 с касательной, которая проходит через точку P(0; 16

Черешня

16

Задача 1:
Для решения этой задачи, нам нужно найти все точки пересечения графика функции \(y = 3x - x^3\) с касательной, которая проходит через точку \(P(0, 16)\).

Для начала, найдем производную функции \(y = 3x - x^3\), чтобы найти уравнение касательной к графику функции в произвольной точке \(x_0\).
При нахождении производной, мы получим ее равной \(y" = 3 - 3x^2\).

Теперь подставим значение \(x_0\) в уравнение производной и получим коэффициент наклона касательной в точке \(x_0\):
\(m = 3 - 3x_0^2\)

Затем, мы знаем, что касательная проходит через точку \(P(0, 16)\), следовательно, у нее будут одинаковые координаты точки:
\(x_0 = 0\) и \(y_0 = 16\)

Теперь мы можем использовать полученные значения для нахождения уравнения касательной:
\(y - y_0 = m(x - x_0)\)
\(y - 16 = (3 - 3(0)^2)(x - 0)\)
\(y - 16 = 3x\)

Таким образом, уравнение касательной, проходящей через точку \(P(0, 16)\), будет \(y = 3x\).

Теперь осталось найти точки пересечения графика функции \(y = 3x - x^3\) и касательной \(y = 3x\).

Чтобы найти эти точки, приравняем уравнение функции и уравнение касательной и решим полученное уравнение:
\(3x - x^3 = 3x\)

Располагая уравнение в таком виде, мы видим, что \(3x\) учитывается с обеих сторон уранения и может быть сокращено. Также можем вынести \(- x\) за скобку:
\(- x^3 = 0\)

Из этого уравнения мы видим, что \(x^3 = 0\) и, следовательно, \(x = 0\).

Таким образом, единственная точка пересечения графика функции и касательной находится при \(x = 0\).

Теперь, чтобы найти значение \(y\) для этой точки, подставим \(x = 0\) в уравнение функции:
\(y = 3(0) - (0)^3 = 0\)

Таким образом, единственное пересечение графика функции \(y = 3x - x^3\) и касательной \(y = 3x\) происходит в точке \((0, 0)\).

Задача 2:
Для решения этой задачи, нам нужно найти минимальное расстояние между параболой \(y = x^2 + 2x + 10\) и прямой.

Для начала, нужно выразить параболу в виде общего уравнения параболы: \(ax^2 + bx + c\). В этом случае \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = 10\).

Затем, рассмотрим общее уравнение прямой: \(y = mx + b\), где \(m\) - это коэффициент наклона прямой, и \(b\) - это y-интерсепт (точка, в которой прямая пересекает ось y).

Располагая эту информацию, мы можем рассмотреть параболу и прямую и вычислить расстояние между ними. Однако, для нахождения точки минимального расстояния, мы используем производную.

Для этого, найдем производную параболы \(y = x^2 + 2x + 10\):
\(y" = 2x + 2\)

Мы знаем, что расстояние между параболой и прямой будет минимальным, когда наклон касательной к параболе будет равен наклону прямой.

Следовательно, приравняем наклоны:

\(2x + 2 = m\)

Теперь, подставим это в оба уравнения параболы и прямой:

\(y = x^2 + 2x + 10\)

\(y = mx + b\)

Подставляем \(2x + 2\) вместо \(m\) в уравнение параболы:

\(y = (2x + 2)x + b\)
\(y = 2x^2 + 2x + b\)

Теперь мы получили систему уравнений с двумя неизвестными \(x\) и \(y\):

\(\begin{cases} y = x^2 + 2x + 10 \\ y = 2x^2 + 2x + b \end{cases}\)

Мы можем решить эту систему с помощью метода подстановки или метода уравнения:

Из первого уравнения имеем \(x^2 + 2x + (10 - y) = 0\).

Далее, мы можем подставить это второе уравнение:

\(y = 2x^2 + 2x + b\)

а затем подставить первое уравнение для \(x^2 + 2x + (10 - y)\):

\(y = 2(x^2 + 2x + (10 - y)) + b\)

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(y = 2x^2 + 4x + 20 - 2y + b\)

Теперь, чтобы найти значение \(b\), мы должны сравнить коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) и при \(y\).

Здесь коэффициенты при \(x^2\) равны:
\(2x^2 = 0x^2\)

Здесь коэффициенты при \(x\) равны:
\(4x = 2x\)

Здесь коэффициенты при \(y\) равны:
\(20 - 2y + b = 0y\)

Таким образом, нам нужно решить систему уравнений:

\(\begin{cases} 4x = 2x \\ 20 - 2y + b = 0 \end{cases}\)

Первое уравнение дает нам \(x = 0\), а второе уравнение дает нам значение \(b = 2y - 20\).

Теперь, чтобы найти \(y\), подставим \(x = 0\) в уравнение параболы:

\(y = 0^2 + 2(0) + 10 = 10\)

Подставляем \(y = 10\) в уравнение прямой для нахождения \(b\):
\(10 = 2y - 20\)
\(2y = 30\)
\(y = 15\)

Теперь мы имеем \(x = 0\) и \(y = 15\).

Теперь, чтобы найти \(b\), подставим \(y = 15\) в \(b = 2y - 20\):
\(b = 2(15) - 20\)
\(b = 10\)

Таким образом, мы нашли, что \(x = 0\), \(y = 15\) и \(b = 10\).

Теперь мы можем найти расстояние между параболой и прямой, используя формулу для расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставляем \(x_1 = 0\), \(y_1 = 10\), \(x_2 = 0\), \(y_2 = 15\) и вычисляем:

\[d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (15 - 10)^2}\]
\[d = \sqrt{0 + 25}\]
\[d = \sqrt{25}\]
\[d = 5\]

Таким образом, минимальное расстояние между параболой \(y = x^2 + 2x + 10\) и прямой составляет 5 единиц.