Сколько треугольников можно образовать, используя 9 точек на одной прямой и 5 точек на параллельной прямой?

Тигресса

18

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу из комбинаторики для вычисления числа сочетаний.

При образовании треугольников из точек на прямой, мы должны выбрать 3 точки из 9. Это равносильно вычислению числа сочетаний из 9 по 3:

\[
C(9, 3) = \frac{{9!}}{{3!(9-3)!}}
\]

В этой формуле, "!" обозначает факториал. Факториал числа - это произведение этого числа на все меньшие числа, аж до 1. Например, \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

Теперь мы можем вычислить число сочетаний:

\[
C(9, 3) = \frac{{9!}}{{3! \cdot 6!}}
\]

Вычислим значение в числителе и знаменателе:

\[
9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880
\]

\[
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6
\]

\[
6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720
\]

Подставим значения в формулу:

\[
C(9, 3) = \frac{{362880}}{{6 \cdot 720}} = \frac{{362880}}{{4320}} = 84
\]

Таким образом, мы можем образовать 84 треугольника с использованием 9 точек на одной прямой.

Теперь посмотрим на точки на параллельной прямой. Если на параллельной прямой находится 5 точек, то треугольники можно образовать из этих 5 точек, из трех точек на первой прямой и из двух точек, которые находятся на разных прямых.

По аналогии с предыдущем рассуждением, число треугольников, которые можно образовать из 5 точек на параллельной прямой:

\[
C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{120}}{{12}} = 10
\]

Итак, мы можем образовать 10 треугольников, используя 5 точек на параллельной прямой.

Теперь мы можем сложить количество треугольников, которые можно образовать на каждой прямой:

\[84 + 10 = 94\]

Таким образом, общее количество треугольников, которые можно образовать, используя 9 точек на одной прямой и 5 точек на параллельной прямой, равно 94.