Каков объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 3 см и площадью боковой поверхности 80 см^2?

Як

48

Конечно, я могу помочь вам решить эту задачу. Давайте разберемся пошагово.

Первым шагом нужно найти площадь основания пирамиды. Для этого нам понадобятся дополнительные данные. Если основание правильной четырехугольной пирамиды – квадрат, то его площадь можно вычислить, зная длину стороны квадрата.

Для нахождения длины стороны квадрата воспользуемся формулой, связывающей площадь боковой поверхности и длину стороны пирамиды.

Формула для площади боковой поверхности пирамиды:

\[S_{\text{бп}} = \frac{{\text{периметр основания} \cdot \text{высоту пирамиды}}}{2}\]

В нашей задаче площадь боковой поверхности равна 80 см^2, а высота пирамиды равна 3 см. Поэтому мы можем записать:

80 = \(\frac{{\text{периметр основания} \cdot 3}}{2}\)

Теперь найдем периметр основания. Для этого нужно знать форму правильной четырехугольной пирамиды и дополнительные данные о ее сторонах.

Давайте предположим, что наше основание – квадрат со стороной \(a\). Также предположим, что у нас есть дополнительная информация о какой-то стороне квадрата.

Для удобства решения задачи допустим, что у нас есть информация о длине стороны квадрата, равной \(b\) см. Тогда мы можем использовать это значение для нахождения периметра.

Периметр квадрата вычисляется по формуле:

\[P = 4 \cdot a\]

Теперь мы можем записать формулу для нахождения площади боковой поверхности с использованием периметра основания:

\[80 = \frac{{4 \cdot b \cdot 3}}{2}\]

Объединяем формулы и решаем уравнение:

80 = \(\frac{{4 \cdot b \cdot 3}}{2}\)

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

\(160 = 4 \cdot b \cdot 3\)

Теперь разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти значение \(b\):

\(b = \frac{{160}}{{12}}\)

\(b = \frac{{40}}{{3}}\)

Теперь у нас есть значение стороны квадрата \(b = \frac{{40}}{{3}}\) см. Мы можем найти площадь основания правильной четырехугольной пирамиды, используя формулу для площади квадрата:

\[S_{\text{осн}} = b^2 = \left(\frac{{40}}{{3}}\right)^2\]

Выполняем вычисления:

\(S_{\text{осн}} = \left(\frac{{40}}{{3}}\right)^2 = \frac{{40^2}}{{3^2}} = \frac{{1600}}{{9}}\)

Теперь у нас есть площадь основания пирамиды \(S_{\text{осн}} = \frac{{1600}}{{9}}\) квадратных сантиметров.

Наконец, чтобы найти объем пирамиды, умножим площадь основания на высоту и разделим на 3, так как данная пирамида является правильной:

\[V = \frac{{S_{\text{осн}} \cdot h}}{3}\]

Подставляем известные значения:

\[V = \frac{{\frac{{1600}}{{9}} \cdot 3}}{3} = \frac{{1600}}{{9}}\]

Выполняем вычисления:

\[V = \frac{{1600}}{{9}}\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 3 см и площадью боковой поверхности 80 см^2 равен \(\frac{{1600}}{{9}}\) кубических сантиметров.