1. Парафразируем уравнения: a) Каковы корни уравнения 7x2 - 9x + 2 = 0? b) Каковы корни уравнения 7x2 - 28

Vsevolod

6

Здравствуйте! Ответы на ваши вопросы:

1. Парафразируем уравнения:
a) У нас есть уравнение вида \(7x^2 - 9x + 2 = 0\), и мы хотим найти корни этого уравнения. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулой для нахождения корней уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). В нашем случае, \(a = 7\), \(b = -9\), и \(c = 2\). Подставим значения в формулу дискриминанта: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25\). Значение дискриминанта положительное, значит, у нас есть два различных корня. Подставим значения в формулу для нахождения корней: \(x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 \pm 5}{14}\). Это дает нам два корня, \(x_1 = \frac{14}{14} = 1\) и \(x_2 = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\). Таким образом, корни уравнения \(7x^2 - 9x + 2 = 0\) равны 1 и \(\frac{2}{7}\).

b) У нас есть уравнение \(7x^2 - 28 = 0\), и мы хотим найти его корни. Здесь у нас нет линейного члена, поэтому формула дискриминанта не применима. Заметим, что у нас есть общий множитель 7: \(7x^2 - 28 = 7(x^2 - 4)\). Теперь мы можем применить идентичность \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) и факт, что \(4^2 = 16\): \(7(x^2 - 4) = 7(x - 2)(x + 2)\). Таким образом, корни уравнения \(7x^2 - 28 = 0\) равны -2 и 2.

б) У нас есть уравнение \(5x^2 + 12x = 0\), и мы хотим его решить. Обратите внимание, что у нас есть общий множитель x: \(5x^2 + 12x = x(5x + 12)\). И так как произведение равно нулю, то либо x равен нулю, либо \(5x + 12\) равно нулю. Отсюда получаем два корня: x = 0 и \(5x + 12 = 0\). Решая уравнение \(5x + 12 = 0\), получаем \(x = -\frac{12}{5}\). Таким образом, корни уравнения \(5x^2 + 12x = 0\) равны 0 и \(-\frac{12}{5}\).

г) У нас есть уравнение \(x^2 + 20x + 91 = 0\), и мы хотим найти его корни. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта и формулу для нахождения корней, аналогично пункту a). В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 20\), и \(c = 91\). Подставим значения в формулу дискриминанта: \(D = (20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36\). Значение дискриминанта положительное, значит, у нас есть два различных корня. Подставим значения в формулу для нахождения корней: \(x = \frac{-20 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 6}{2}\). Это дает нам два корня, \(x_1 = -\frac{26}{2} = -13\) и \(x_2 = -\frac{14}{2} = -7\). Таким образом, корни уравнения \(x^2 + 20x + 91 = 0\) равны -13 и -7.

2. Дано, что периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 36 см\(^2\). Пусть l - длина прямоугольника, а w - его ширина.
Периметр прямоугольника можно выразить как \(2l + 2w\), а площадь - как \(lw\). У нас есть два уравнения:
\(2l + 2w = 26\) и \(lw = 36\).
Мы можем преобразовать первое уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую: \(l = \frac{26 - 2w}{2} = 13 - w\).
Теперь мы можем заменить \(l\) во втором уравнение: \((13 - w)w = 36\).
Раскроем скобки: \(13w - w^2 = 36\).
Запишем уравнение в квадратичной форме: \(w^2 - 13w + 36 = 0\).
Мы могли бы найти корни этого уравнения, используя формулу дискриминанта, но здесь мы можем обратиться к факту, что если корни квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равны \(x = p\) и \(x = q\), то само уравнение можно записать в виде \((x - p)(x - q) = 0\).
Применим этот факт: \((w - 4)(w - 9) = 0\).
Таким образом, у нас два возможных значения для \(w\): 4 и 9.
Подставляя значения \(w\) обратно в первое уравнение, мы можем найти значения для \(l\):
для \(w = 4\), \(l = 13 - 4 = 9\) и для \(w = 9\), \(l = 13 - 9 = 4\).
Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 9 см и 4 см (или наоборот).

3. У нас есть уравнение \(x^2 + px + 56 = 0\), в котором один из корней равен -4. Мы хотим найти другой корень и коэффициент p.

Если один из корней равен -4, то у нас есть факт, что \((x + 4)\) является одним из множителей уравнения.
Поделим полином \(x^2 + px + 56\) на \((x + 4)\) с помощью деления в столбик:

         x - 4

     ------------

x + 4 | x^2 + px + 56

       - (x^2 + 4x)

       -------------

               px + 56

               - (px + 4 * 14)

               ------------

                      56 - 4 * 14 = 0

Итак, после деления получаем \(x - 4\). Это означает, что у нас есть факторизованное уравнение: \((x + 4)(x - 4) = 0\).
Таким образом, второй корень равен 4.

Теперь мы можем найти коэффициент p, сравнивая коэффициенты при \(x\) в исходном и факторизованном уравнениях. В исходном уравнении коэффициент при \(x\) равен p, а в факторизованном уравнении это сумма корней, то есть -4 и 4. Таким образом, \(p = -4 + 4 = 0\).

Таким образом, другой корень уравнения \(x^2 + px + 56 = 0\) равен 4, а коэффициент \(p = 0\).