1) Перепишіть вираз у спрощеній формі: sin(3π/2 + α) sin(3π/2 + α) – (α is alpha) cos(3π/2 - α) 1 + sin(π/2

Кедр

6

1) Щоб спростити вираз, спочатку розглянемо кутові формули. Ми знаємо, що sin(π/2 + α) = cos(α) і sin(3π/2 + α) = -cos(α). Також нам відомо, що cos(3π/2 - α) = -sin(α) і sin(π/2 - α) = cos(α).

Тепер замінимо ці значення в початковому виразі:
sin(3π/2 + α) sin(3π/2 + α) - cos(3π/2 - α) 1 + sin(π/2 - α) =
(-cos(α)) (-cos(α)) - (-sin(α)) (1 + cos(α)) =
cos²(α) + sin(α)(1 + cos(α)).

Тепер ми можемо посортувати цей вираз:
cos²(α) + sin(α)(1 + cos(α)) =
cos²(α) + sin(α) + sin(α)cos(α).

2) Давайте розв"яжемо рівняння почергово:

а) cos^4(x) = -√2/2.
Оскільки квадрат косинуса не може бути від"ємним числом, це рівняння не має розв"язків.

б) 4cos^2(x) - 11sin(x) - 1 = 0.
Це квадратне рівняння з двома змінними. Давайте замінимо sin(x) на 1 - cos^2(x):

4cos^2(x) - 11(1 - cos^2(x)) - 1 = 0.
Розкриємо дужки та приведемо подібні доданки:
4cos^2(x) - 11 + 11cos^2(x) - 1 = 0.
Просумуємо подібні доданки:
15cos^2(x) - 12 = 0.
Перенесемо -12 на інший бік рівняння:
15cos^2(x) = 12.
Поділимо обидві частини на 15:
cos^2(x) = \frac{12}{15}.
Спростимо дріб:
cos^2(x) = \frac{4}{5}.
Від квадратного кореня візьмемо два значення:
cos(x) = \pm\sqrt{\frac{4}{5}}.

Отже, розв"язки рівняння:
x = arccos\left(\sqrt{\frac{4}{5}}\right) ∨ x = arccos\left(-\sqrt{\frac{4}{5}}\right).

в) √(x-14) + √(x+7) = 3√(x+7) - √(x-14).
Давайте перенесемо всі корені на одну сторону рівняння:
√(x-14) + √(x+7) - 3√(x+7) + √(x-14) = 0.
Корені з рівняння x-14 та x+7 можна скоротити:
(√(x-14) + √(x-14)) + (√(x+7) - 3√(x+7)) = 0.
Спростимо вираз почергово:
2√(x-14) - 2√(x+7) = 0.
Виділимо загальний множник:
2(√(x-14) - √(x+7)) = 0.
Розділимо обидві частини на 2:
√(x-14) - √(x+7) = 0.
Тепер додамо √(x+7) на обидві сторони рівняння:
√(x-14) = √(x+7).
Піднесемо обидві частини до квадрату:
x - 14 = x + 7.
Віднімемо x від обох боків рівняння:
-14 = 7.
Отримали суперечність. Це рівняння не має розв"язків.