1. Подсчитайте сумму первых пяти членов данной арифметической прогрессии, где первый член равен 2 и разность равна

Роза

56

Хорошо, давайте посчитаем каждую задачу поочередно.

1. Для данной задачи у нас есть арифметическая прогрессия с первым членом 2 и разностью -0,2. Мы должны найти сумму первых пяти членов данной прогрессии.

Формула для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\[ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \]

Где:
S_n - сумма первых n членов прогрессии,
n - количество членов прогрессии,
a - первый член прогрессии,
d - разность между каждым членом прогрессии.

Подставим значения в формулу:
\[ S_5 = \frac{5}{2}(2 + (5-1)(-0,2)) \]

Выполним вычисления:
\[ S_5 = \frac{5}{2}(2 + 4(-0,2)) \]
\[ S_5 = \frac{5}{2}(2 + (-0,8)) \]
\[ S_5 = \frac{5}{2}(1,2) \]
\[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot 1,2 \]
\[ S_5 = 2,5 \]

Таким образом, сумма первых пяти членов данной арифметической прогрессии равна 2,5.

2. Вторая задача также относится к арифметической прогрессии. У нас есть первый член 3 и разность 7. Мы должны найти двенадцатый член и сумму первых двенадцати членов прогрессии.

Для нахождения двенадцатого члена используем формулу:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Подставим значения:
\[ a_{12} = 3 + (12-1) \cdot 7 \]

Выполним вычисления:
\[ a_{12} = 3 + 11 \cdot 7 \]
\[ a_{12} = 3 + 77 \]
\[ a_{12} = 80 \]

Двенадцатый член данной прогрессии равен 80.

Теперь найдем сумму первых двенадцати членов.
Используем формулу, которую мы уже использовали в первой задаче:
\[ S_{12} = \frac{12}{2}(2 \cdot 3 + (12-1)7) \]

Выполним вычисления:
\[ S_{12} = \frac{12}{2}(6 + 11 \cdot 7) \]
\[ S_{12} = \frac{12}{2}(6 + 77) \]
\[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot 83 \]
\[ S_{12} = 6 \cdot 83 \]
\[ S_{12} = 498 \]

Таким образом, двенадцатый член данной арифметической прогрессии равен 80, а сумма первых двенадцати членов равна 498.

3. Третья задача относится к геометрической прогрессии. У нас есть первый член 0,0027 и знаменатель -10. Мы должны найти сумму первых четырех членов данной прогрессии.

Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = a\left(\frac{1 - q^n}{1-q}\right) \]

Где:
S_n - сумма первых n членов прогрессии,
a - первый член прогрессии,
q - знаменатель прогрессии,
n - количество членов прогрессии.

Подставим значения:
\[ S_4 = 0.0027\left(\frac{1 - (-10)^4}{1-(-10)}\right) \]

Выполним вычисления:
\[ S_4 = 0.0027\left(\frac{1 - 10000}{1+10}\right) \]
\[ S_4 = 0.0027\left(\frac{-9999}{11}\right) \]
\[ S_4 = 0.0027 \cdot -909.09 \]
\[ S_4 = -2.4527 \]

Таким образом, сумма первых четырех членов данной геометрической прогрессии равна -2.4527.

4. В последней задаче нам нужно найти число, которое нужно вставить между числами 2 и -54, чтобы они вместе с этим числом образовали геометрическую прогрессию.

Если числа образуют геометрическую прогрессию, то соотношение между ними будет:
\[ \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} \]

Подставим значения:
\[ \frac{x}{2} = \frac{-54}{x} \]

Умножим обе части на x:
\[ x^2 = -108 \]

Решим квадратное уравнение, получим два решения:
\[ x_1 = -\sqrt{108} \approx -10.39 \]
\[ x_2 = \sqrt{108} \approx 10.39 \]

Таким образом, чтобы числа 2, x и -54 образовали геометрическую прогрессию, число x должно быть примерно равно -10.39 или 10.39.

Надеюсь, эти объяснения помогли вам разобраться с задачами по арифметическим и геометрическим прогрессиям. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!