1) Показать на рисунке прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Указать и пометить на рисунке: а) Два вектора, равных

Skvorec

25

Хорошо, я помогу вам с этими заданиями. Давайте начнем.

1) Показать на рисунке прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Указать и пометить на рисунке:
а) Два вектора, равных друг другу.

Для этой части задачи мы можем выбрать два параллельных ребра параллелепипеда, например, AB и A1B1. Вектор, соединяющий концы этих ребер, будет равен вектору, соединяющему начала этих ребер. Пометим их на рисунке.

\[
\vec{AB} = \vec{A1B1}
\]

б) Два коллинеарных вектора, направленных в противоположные стороны.

Для этой части задачи мы можем выбрать два диагонально противоположных ребра параллелепипеда, например, AD и B1C1. Вектор, соединяющий концы этих ребер, будет направлен в противоположную сторону и равен вектору, соединяющему начала этих ребер. Пометим их на рисунке.

\[
\vec{AD} = -\vec{B1C1}
\]

в) Два ортогональных (перпендикулярных) вектора.

Для этой части задачи мы можем выбрать два соседних ребра параллелепипеда, например, AB и BC. Вектор, соединяющий начала этих ребер, будет ортогонален вектору, соединяющему концы этих ребер. Пометим их на рисунке.

\[
\vec{AB} \perp \vec{BC}
\]

г) Тройка векторов, лежащих в одной плоскости.

Для этой части задачи мы можем выбрать три соседних ребра параллелепипеда, например, AB, BC и B1C1. Вектора, соединяющие начала и концы этих ребер, будут лежать в одной плоскости. Пометим их на рисунке.

2) Даны векторы \(\vec{a} = (2,m,-3)\) и \(\vec{b} = (1,-1,5)\). Существует ли такое значение \(m\), при котором:
а) Эти векторы коллинеарны.

Два вектора коллинеарны, если они направлены вдоль одной и той же прямой или параллельны. Векторы коллинеарны, если они пропорциональны друг другу, т.е. один вектор можно получить, умножив другой на некоторое число.

Для векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) чтобы они были коллинеарны, необходимо, чтобы отношение их координат было одинаковым:

\[
\frac{{2}}{{1}} = \frac{{m}}{{-1}} = \frac{{-3}}{{5}}
\]

Мы можем решить это уравнение:

\[
\frac{{2}}{{1}} = \frac{{m}}{{-1}} \Rightarrow m = -2
\]

Таким образом, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны при \(m = -2\).

б) Угол между этими векторами является прямым (\(90^\circ\)).

Два вектора являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю. Для двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) чтобы угол между ними был прямым (\(90^\circ\)), необходимо, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю:

\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + m \cdot (-1) + (-3) \cdot 5 = 0
\]

Решим это уравнение:

\[
2 - m - 15 = 0 \Rightarrow m = -13
\]

Таким образом, угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) является прямым (\(90^\circ\)) при \(m = -13\).

Вот полное решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.