Какова площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если известно, что длина бокового ребра равна

Лунный_Свет

42

Конечно! Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Формула для площади боковой поверхности треугольной пирамиды выглядит следующим образом:

\[ S = \frac{1}{2} P \cdot l \]

где \( P \) - периметр основания пирамиды, а \( l \) - длина бокового ребра пирамиды.

В данной задаче основание пирамиды - правильный треугольник, у которого сторона равна \( a \), а \( l \) является биссектрисой этого треугольника.

Периметр треугольника можно найти, зная длину стороны \( a \). Для правильного треугольника формула для периметра будет:

\[ P = 3a \]

Длина биссектрисы \( l \) можно найти, используя формулу, связанную с радиусом вписанной окружности \( r \):

\[ l = 2ar \]

Зная эти формулы, мы можем перейти к решению задачи.

Для начала найдем периметр основания пирамиды. У нас дано, что длина стороны \( a \) равна \( 3\sqrt{2} \) см, поэтому:

\[ P = 3a = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \] см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности \( r \). Для этого воспользуемся формулой, связанной с площадью основания \( S_{\text{осн}} \) и полупериметром основания \( p \):

\[ r = \frac{S_{\text{осн}}}{p} \]

Так как основание пирамиды у нас является правильным треугольником, его площадь можно найти с помощью формулы:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

а полупериметр равен:

\[ p = \frac{3a}{2} \]

Таким образом, имеем:

\[ r = \frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \]

Подставляя значение \( a = 3\sqrt{2} \), получаем:

\[ r = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] см.

Теперь можем найти длину бокового ребра \( l \) с помощью формулы:

\[ l = 2ar = 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{12} = 6\sqrt{3} \] см.

Наконец, подставляем найденные значения \( P \) и \( l \) в формулу для площади боковой поверхности:

\[ S = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} = 27\sqrt{6} \] см².

Таким образом, площадь боковой поверхности данной пирамиды равна \( 27\sqrt{6} \) квадратных сантиметров.