1) Покажите, что плоскость a1be параллельна плоскости b1ct для данной правильной шестиугольной призмы abcteh

Загадочный_Магнат

61

1) Чтобы показать, что плоскость a1be параллельна плоскости b1ct, мы можем воспользоваться свойствами параллельных плоскостей. Для этого нам необходимо определить наклонные прямые, лежащие на каждой плоскости, и проверить, что они параллельны.

Для начала, обратимся к правильной шестиугольной призме abcteh. Здесь a, b, c, t, e и h обозначают вершины призмы.

Плоскость a1be проходит через вершины a, b и e. Подобным образом, плоскость b1ct проходит через вершины b, c и t.

Чтобы найти наклонные прямые, лежащие на плоскости a1be, возьмем две произвольные точки на этой плоскости: a и e. Тогда векторы \(\overrightarrow{{a1a}}\) и \(\overrightarrow{{a1e}}\) будут принадлежать плоскости a1be. Аналогично, на плоскость b1ct лягут векторы \(\overrightarrow{{b1b}}\) и \(\overrightarrow{{b1c}}\).

Теперь давайте посмотрим на отношение этих векторов:

\[
\frac{{\overrightarrow{{a1a}}}}{{\overrightarrow{{a1e}}}} = \frac{{\overrightarrow{{b1b}}}}{{\overrightarrow{{b1c}}}}
\]

Если эти отношения равны, то векторы пропорциональны, что означает, что плоскость a1be параллельна плоскости b1ct.

2) Для определения объема многогранника b1cte1t1c1 мы должны сначала найти площадь основания и высоту призмы abcteh.

Известно, что ab=2 и aa1=3. Так как призма является правильной, длина стороны трапеции abct также равна 2. Пусть h будет высотой призмы abcteh.

Теперь нам нужно найти высоту треугольника ae1h, чтобы определить высоту всей призмы. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике aa1h.

Известно, что aa1=3, а ab=2. По теореме Пифагора:

\[
ah^2 = aa1^2 - ab^2
\]
\[
ah^2 = 3^2 - 2^2
\]
\[
ah^2 = 9 - 4
\]
\[
ah^2 = 5
\]

Таким образом, \(ah = \sqrt{5}\).

Теперь, чтобы найти площадь основания b1ct, мы можем воспользоваться формулой площади трапеции:

\[
S_{b1ct} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{2+2}{2} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}
\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота призмы, мы можем найти объем многогранника:

\[
V_{b1cte1t1c1} = S_{b1ct} \cdot h = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 10
\]

Таким образом, объем многогранника b1cte1t1c1 для данной призмы abcteh равен 10.