1. Покажите, что треугольник ASD является прямоугольным, если SB перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD. 2. Если

Яблонька

70

1. Чтобы показать, что треугольник ASD является прямоугольным, нам нужно использовать свойство перпендикулярности и прямоугольника ABCD.

Из условия задачи мы знаем, что линия SB перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Вспомним определение перпендикулярности - это означает, что отрезок SB образует прямой угол с плоскостью прямоугольника.

Треугольник ASD образуется между отрезком AD и перпендикулярной прямоугольнику ABCD линией SB. Поскольку отрезок SB перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD, а отрезок AD является одной из сторон этой плоскости, то угол ASD будет прямым. Таким образом, треугольник ASD будет прямоугольным.

2. Чтобы найти угол между линией SD и плоскостью, нам сначала нужно понять, какие линии это представляют собой в треугольнике ASD.

Изображая треугольник ASD и часть плоскости ABCD, мы можем увидеть, что линия SD является диагональю треугольника ASD, а плоскость - плоскость ABCD.

Используя заданные значения, мы знаем, что CD = 3 см, AD = 4 см и SB = 5 см. Теперь нам нужно найти угол между линией SD и плоскостью.

Для нахождения этого угла мы можем использовать теорему косинусов. Данная теорема гласит, что квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов других двух сторон, умноженных на два произведения этих сторон и косинус угла между ними.

Применяя теорему косинусов к треугольнику ASD, имеющему стороны SD и AD, и гипотенузой SA, мы можем записать:

\[SD^2 = AD^2 + SA^2 - 2 \cdot AD \cdot SA \cdot \cos(\angle ASD)\]

У нас есть значения AD = 4 см и SD = 5 см. Чтобы найти угол ASD, нам нужно найти значение SA.

Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ASD, который является прямоугольным, мы можем записать:

\[SD^2 = AD^2 + SA^2\]

Подставляя значения AD = 4 см и SD = 5 см, мы получаем:

\[5^2 = 4^2 + SA^2\]

\[25 = 16 + SA^2\]

\[SA^2 = 9\]

\[SA = 3\]

Теперь мы можем подставить это значение для SA в первое уравнение и решить его относительно косинуса угла ASD:

\[SD^2 = AD^2 + SA^2 - 2 \cdot AD \cdot SA \cdot \cos(\angle ASD)\]

\[5^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(\angle ASD)\]

\[25 = 16 + 9 - 24 \cdot \cos(\angle ASD)\]

\[25 = 25 - 24 \cdot \cos(\angle ASD)\]

\[0 = -24 \cdot \cos(\angle ASD)\]

Из этого уравнения мы видим, что косинус угла ASD равен нулю. Это означает, что угол ASD равен 90 градусов, то есть он прямой угол.

Таким образом, угол между линией SD и плоскостью будет равен 90 градусов.